我突然想发一篇文章(别问我为什么[doge])排列组合大家都听过吧,今天的主角就是排列组合。废话不多说,直接开始先来看几道题目:由1234组成不同的三位数有几种?:有四个人每两个人都要握手一次要握几次手排列组合公式部分排列部分第一道是排列问题其实是想让你求1234四个数中选三个进行排列有几种排列?题目解答我们先来思考一下第一个数字选什么有几种可能显然第一位有4种可能因为四个数字都没有被选过且都可以选择。第二位有种可能因为第一位选了一个数字所以只有3种可能。第三位有种可能第一和第二位选了两个数字之后只剩下了2个数字。总共有种可能。至此整道题目就做完了。推出排列公式我们不妨推想一下排列又没有公式呢如果有那是什么呢如果是从n个选项里选择m个进行排列一般情况下第一位有n种可能性第二位有m种可能性直到第m位有种可能性。总共有种可能性我们把这个公式进行化简先把它写成的形式可以发现分子是的阶乘分母是的阶乘所以这个式子可以变为。其中代表的是从n个数字中选择n个进行排列的总数。所以第一道题的答案就出来了:组合部分第二道是组合问题其实是想让你求四个人中选两个进行组合有几种组合?题目解答推出公式我们来想一下排列和组合的区别是什么其实排列注重顺序而组合不管顺序。观察可以发现排列数是组合数的两倍为什么呢实际上如果有n个数抽出m个进行组合组合数 * m个数的排列方案数 排列数比如4个数抽3个则其中代表的是从n个数字中选择n个进行组合的总数。原理排列有多种方案其中的一些方案是重复的而组合中这些方案就变成一种方案了那如何知道重叠的数量呢推算呗呜呜呜手都要废了推算可得出在n个数选m个数中组合数*排列数再联系排列的公式可以算出最终的公式为排列组合技巧部分技巧一整体捆绑法我们来思考这样一道题n名同学站成一排,m名同学要站在一起有几种排列这就要用到整体捆绑法了。m名同学要站在一起则可以将其变成一个人有种排列。但是这m名同学的顺序也是会变的所以要乘上公式就是技巧二选空插入法还是来思考一道题n名同学站在一起,其中m名同学不站在一起有几种排列面对与上一题截然不同的题目要如何解决呢这就要用到选空插入法了。我们将其他的人先排序就是,而其余的人呢这就要用一种巧妙的思路了如下设有七个人其中两个人不站在一起则将其余五个人的排列一下再将那两个人插入空隙中有个空位所以那两个人的所有排列就是,推导成通用公式是技巧三总体排除法一道题n名同学中选m人,其中k人中至少有一人被选上有几种组合这道题的方法讲的通俗一点就是排除法先算出一共的方案数再减去没有含有这k人的组合数公式就是技巧四优先考虑法题目n名队员中有m名主力队员,派k名队员参加比赛有几种较好的排列(默认mk)由于是要较好的排列所以先算m名主力的排列,再算剩下的人的排列数最后相乘得出公式为技巧五分类讨论法由012345组成没有重复数字的六位数其中个位数字小于十位数字的共有几种排列这题用排除法也可以做这里为了展示分类讨论的方法就用分类讨论了。已知要个位小于十位所以个位只有01234五种选择再给它分类讨论个位是0有种排列个位是1有种排列个位是2有种排列个位是3有种排列个位是4有种排列。合起来就是有种排列答案是360种。技巧六先选后排法有n种菜选m种,种在m块土地上有几种排列这道题比较简单先算n中选m的组合数再进行排列。直接给答案技巧七挡板分隔法这个技巧比较难先看题目把n本书发给1.2.3~~~n号阅览室,每个阅览室分得的书不得小于其编号有几种分配方法一般先看会感到很懵逼但是看一下这张图片就明白了先设有13本书。向每个阅览室放入编号-1本书之后还剩7本书然后就可以用挡板分隔法了可以看到剩下的7本书中间有6个地方可以插入隔板而隔板有3个便可以把这些书分为4部分所以排列数有尝试推广到原先的题目设则有种排列。其他在下面彩蛋排列组合练习题及答案 - 百度文库 (baidu.com)