1. 为什么嵌入式环境要跟浮点较劲：纯整数方案的真实动机

先抛个大多数人都踩过的场景：小封装 MCU 上跑传感器采集，ADC 出来的原始数据带噪声，很自然地想到写一个二阶低通滤波器。顺手用 float 把差分方程抄了一遍，编译下载后发现事情不对——这块芯片根本没有 FPU，每个 float 乘法背后都是一长串软浮点库函数，一个 1kHz 的采样中断里跑一次滤波要吃掉几百个周期，还要看编译器脸色。更麻烦的是浮点库调用时机不可控，中断里偶尔蹦出个大延迟，采样节拍一乱，滤波器性能肉眼可见地变差。

“纯整数二阶滤波器”就是干这个的：把滤波器系数从 (-1, 1) 区间的小数放大成整数，用定点乘加代替浮点运算，整个滤波过程只有整数乘法、整数加法和移位。没有软浮点库调用，没有隐式函数跳转，执行时间固定到几十个周期以内，这在很多 M0/M0+ 单核小芯片上属于“降维打击”级别的优化。

这套东西解决的核心问题有三个：

• 没有 FPU 的 MCU 上，浮点滤波器运行时间不可控、开销大；
• 滤波处理必须和采样中断严格同步，允许的抖动窗口很窄；
• 内存和代码空间受限，能省则省，每个栈字节都金贵。

适合看这篇的读者，基本是这几类：做 ADC 信号调理的嵌入式工程师、写电机或电源控制环的固件开发者、用单片机做简单音频处理的爱好者，以及刚接触定点 DSP、想把滤波器真正落到板子上的学生。文章不会绕理论绕太久，重点在怎么算系数、怎么定标、怎么写代码、上线前怎么验证。

纯整数方案也不是没有代价。它的精度受字长限制，动态范围不如 float；系数需要经过量化，搞不好会让滤波器的极点移动、甚至越过单位圆导致发散；累加过程还可能溢出。这些坑后面每一处都会展开讲。

2. 二阶 IIR 滤波器的结构：为什么嵌入式里默认选直接 I 型

2.1 差分方程与三种直接结构

二阶 IIR 滤波器，更常见的叫法是 biquad，也就是双二阶滤波器。它的输入输出关系可以用一条差分方程描述：

y[n] = b0*x[n] + b1*x[n-1] + b2*x[n-2] - a1*y[n-1] - a2*y[n-2]

x 是输入采样，y 是输出采样。分子系数 b0、b1、b2 控制零点，分母系数 a1、a2 控制极点。滤波器的频率响应、稳定性、群延迟，全部由这五个系数决定。

同一个差分方程在代码里可以翻译成好几种结构，最常见的是三种：

• 直接 I 型（DF1）：把输入历史和输出历史都存下来，按顺序乘加。状态变量是 x[n-1]、x[n-2]、y[n-1]、y[n-2]，物理意义非常直观——“前两个输入、前两个输出”。
• 直接 II 型（DF2）：先算递归部分再算前馈部分，状态变量只有两个，省内存，但内部节点动态范围大，定点实现时容易溢出。
• 转置直接 II 型（DF2T）：状态更新公式和 DF2 反过来，稳定性更好，是很多专业 DSP 库的默认选择，但状态变量的物理含义不直观，调试时容易懵。

嵌入式定点开发，我推荐直接 I 型。原因是它的每个状态变量都对应着真实的信号历史，溢出分析和排查问题都能直接套用信号的幅值范围；而 DF2、DF2T 的内部状态可能比输入输出大得多，字长设计要额外小心。省那 4 字节内存，往往不值得那个调试成本。

2.2 系数从哪来：双线性变换与 RBJ 计算表

二阶滤波器的系数不是拍脑袋写的，一般路径是从模拟原型出发，经过双线性变换映射到数字域。双线性变换的核心思想是把模拟频率轴“卷”到数字频率轴，保证了模拟滤波器的稳定性在变换后依然成立。

这里有个关键概念叫频率预畸变。模拟频率和数字频率的关系不是线性的，如果直接拿模拟截止频率去套，数字滤波器实际截止点会偏移。预畸变的公式是：

ωa = 2 * fs * tan(ωd / 2)

其中 ωd = 2π * fc / fs，fc 是想要的数字截止频率，fs 是采样率。所有正经的系数计算工具，包括音频行业广泛使用的 RBJ EQ 手册公式，内部都隐含了这一步。

我平时算系数很少手推传递函数，直接用 RBJ cookbook 的低通套路：

ω0 = 2π * fc / fs α = sin(ω0) / (2 * Q) 低通： b0 = (1 - cos(ω0)) / 2 b1 = 1 - cos(ω0) b2 = (1 - cos(ω0)) / 2 a0 = 1 + α a1 = -2 * cos(ω0) a2 = 1 - α

顺手把高通、带通、陷波也列在下面，做嵌入式信号调理常用。

注意上表还没归一化。计算完要统一除以 a0，让分母常数项变成 1，才能得到最终可用的 b0'、b1'、b2'、a1'、a2'。这一步在浮点世界里只是除一下，到了整数世界直接影响定标结果。

2.3 一组可以直接抄的系数示例

理论公式看着干巴巴，直接给两个我几乎每版项目都会用到的例子，先跑通代码再说别的。

例一：采样率 1kHz，截止 50Hz，Q=0.707（这就是二阶 Butterworth 低通）。

代入公式算完并归一化，浮点系数是：

b0 = 0.02008 b1 = 0.04017 b2 = 0.02008 a1 = -1.56105 a2 = 0.64135

例二：采样率 500Hz，截止 10Hz，Q=0.707。截得很低，系数值更“贴近”极点边界，正好用来后面演示量化误差：

b0 = 0.00362 b1 = 0.00724 b2 = 0.00362 a1 = -1.82270 a2 = 0.83718

记住这两组数的量级规律：系数基本都是小于 1 的小数，但 a1 的绝对值很容易超过 1，甚至逼近 2。这个事实直接决定了我们后面选 Q 格式时不能盲目用 Q15。

3. 纯整数化实现：Q 格式、累加器与 C 代码全解

3.1 Q 格式是什么：把小数“放大”成整数再算

浮点滤波器和整数滤波器的本质差异，就是小数怎么表示。Q 格式的思路是用一个整数加一个固定缩放因子来表示小数。Q14 的意思是每个系数都乘上 2^14 = 16384，存成整数；实际值等于整数除以 16384。

选 Q 格式的核心矛盾在于动态范围和精度：

• Q 值越大，步进越小，精度越高，但能表示的数值范围越小；
• Q15 能表示的最大值接近 1.0，放不下 a1（可能到 1.56 甚至 1.9）；
• Q14 最大值接近 2.0，覆盖绝大多数稳定 biquad 的分母系数。

所以嵌入式定点 biquad 的甜点位是 Q14：系数精度约 6.1e-5，对应量化噪声在 -84dB 量级，对 16 位传感器数据绰绰有余，同时能容纳 a1 接近 2 的窄带滤波器。

以例一低通滤波器为例，把五个系数乘 16384 再四舍五入：

这里有个不少人第一次写会蒙圈的符号约定。差分方程里分母项是减 a1y[n-1] 减 a2y[n-2]，在代码里为了避免减法、也为了利用乘加的流水线，我习惯把 c1 = -a1、c2 = -a2 直接存进结构体。这样递推式就变成了标准的五项乘加：

acc = b0*x + b1*x1 + b2*x2 + c1*y1 + c2*y2

例一中存入结构体的 c1 是 +25576，c2 是 -10508。这个“取负号再存”的做法是很多定点 DSP 库通行的约定，理解以后查问题会顺畅很多。

3.2 系数定标、舍入与量化后的稳定性检查

浮点系数转整数，最土也最稳妥的做法是四舍五入：round(coeff * 16384)。不要用截断，截断会引入系统性偏置，直流增益很容易飘掉 1%-2%。

量化以后必须做一次稳定性复核。二阶 IIR 的极点都在单位圆内才稳定，量化后的判定条件可以总结成两条，直接在整数域上验证：

1. |c2| < S （S = 16384） 2. |c1| < S - c2

拿例一验证：|c2| = 10508 < 16384，满足；|c1| = 25576，S - c2 = 16384 - (-10508) = 26892，25576 < 26892，满足。滤波器稳定。

例二就有意思了：量化后分子求和是 59 + 119 + 59 = 237，分母等效值是 S - c1 - c2 = 16384 - 29870 + 13717 = 231，直流增益变成了 237/231 ≈ 1.026，比理论值偏了大约 2.6%。这就是系数量化带来的直流增益误差。大多数传感器场景下这点偏差无所谓，但如果后面接的是高精度测量链路，就要注意预先补偿，或者在系数微调时手动找一组让直流增益更接近 1 的整数组合。

3.3 一套可直接移植的 C 实现

完整实现放出来，直接建工程就能跑。输入输出都是 int16_t，系数用 Q14，累加器用 int32_t：

#include <stdint.h> typedef struct { int16_t b0, b1, b2; /* Q14 分子系数 */ int16_t c1, c2; /* Q14 分母系数，注意已取负号 */ int16_t x1, x2; /* 历史输入 */ int16_t y1, y2; /* 历史输出 */ } biquad_q14_t; int16_t biquad_df1_process(biquad_q14_t *f, int16_t x) { int32_t acc; acc = (int32_t)f->b0 * x; acc += (int32_t)f->b1 * f->x1; acc += (int32_t)f->b2 * f->x2; acc += (int32_t)f->c1 * f->y1; acc += (int32_t)f->c2 * f->y2; /* Q14 还原：加半 LSB 做四舍五入，再右移 14 位 */ acc += (1 << 13); acc >>= 14; /* 状态移位与输出限幅 */ f->x2 = f->x1; f->x1 = x; f->y2 = f->y1; if (acc > 32767) acc = 32767; else if (acc < -32768) acc = -32768; f->y1 = (int16_t)acc; return f->y1; }

结构体的 x1、x2、y1、y2 就是滤波器状态。处理完当前样点后把状态往后挪一拍，等价于数学表达式里的 z^-1 延迟。整段代码没有除法、没有浮点、没有条件分支依赖数据，真正做到了定时确定。

初始化的时候要把整个结构体清零，尤其是 y1、y2 不能是随机值，否则上电头几百个样点会吐出吓人的毛刺。初始化代码一句话：

biquad_q14_t lpf = {329, 658, 329, 25576, -10508, 0, 0, 0, 0};

3.4 累加器溢出分析：什么时候必须上 64 位

int32_t 累加器到底够不够，是个必须较真的问题。每个乘积项最大是 int16 输入（32767）乘以 Q14 系数（最多 32767），单乘积最大约 1.07e9。五个乘积全取最大值相加约 5.4e9，已经超过 int32 上限 2.147e9。所以理论上最坏情况确实可能溢出。

但工程上要分场景。一个最常用的边界分析办法是算“三角形不等式上界”：

最大累加和 ≤ 输入满幅 × (|b0| + |b1| + |b2| + |c1| + |c2|)

例一的系数绝对值之和 329 + 658 + 329 + 25576 + 10508 = 37400。如果输入是 12 位 ADC 出来的 ±2048，最大累加和约 2048 × 37400 = 76.6e6，离 int32 上限差两个数量级，随便用。如果输入满幅是 16 位 ±32767，最大约 1.23e9，还在 int32 范围内，但余量只有 40% 左右，此时阶跃、谐振峰等瞬态响应可能把状态推到更恶劣的位置，不再安全。

我的实践规则是这样：

• 传感器场景，信号来自 12 位或 16 位 ADC 但预处理后限制在 ±16 位以下，int32 累加器有余量，放心用；
• 输出一路级联多级滤波、或者输入是 16 位满幅音频信号、或者滤波器 Q 值很高导致 a1 接近 2，直接换 int64 累加器，稳妥；
• 任何拿不准的边界，用后面第 4 节的仿真办法先做最坏情况扫描。

int64 版本改动很小，把 acc 类型换成 int64_t，乘法的强制转换改成(int64_t)，移位常数加LL后缀即可：

int64_t acc; acc = (int64_t)f->b0 * x; acc += (int64_t)f->b1 * f->x1; acc += (int64_t)f->b2 * f->x2; acc += (int64_t)f->c1 * f->y1; acc += (int64_t)f->c2 * f->y2; acc += (1LL << 13); acc >>= 14;

3.5 性能账本：M0+ 和 M3/M4 上的实测量级

精度之外，性能是整数方案的卖点。我按工程经验给一组量级参考，不同工具链会有差异，但数量级不会变。

Cortex-M3/M4 有单周期的 32x32 乘 64 位乘法指令，编译器会把整段乘加翻译成几条 SMLAL 类指令。一个 Q14 biquad 处理一个样点大概在 20-40 个周期，主频 168MHz 的 M4 上换算不到 0.25 微秒，48kHz 双声道音频也才占几个点 CPU，余量非常大。

Cortex-M0+ 没有 32x32 乘 64 位指令，int64 累加会退化成库函数调用，一个样点可能到 80-150 周期。但主频 48MHz 上依然不到 3 微秒，跑 1kHz 采样绰绰有余。如果 M0+ 上用 int32 累加器，周期数能砍到 40 以内，代价是需要按 3.4 节的规则做满幅分析。

作为对照，同一块 M0+ 上软浮点跑一个 biquad，我一个量产项目里实测量级在 5-15 微秒之间，取决于编译器浮点库的优化程度。纯整数方案在无 FPU 芯片上的优势不是“好一点点”，而是差了一个数量级。

4. 系数生成、验证与上线流程

4.1 用 Python 直接生成 Q14 整数系数

手算系数容易算错，我把生成 Q14 整数系数的脚本固化下来了，每次设计新滤波器直接改参数。脚本实现 RBJ 低通公式，不依赖 scipy，任何环境都能跑：

import math def rbj_lpf(fc, fs, q=0.7071, bits=14): w0 = 2.0 * math.pi * fc / fs cw = math.cos(w0) sw = math.sin(w0) alpha = sw / (2.0 * q) b0 = (1.0 - cw) / 2.0 b1 = 1.0 - cw b2 = (1.0 - cw) / 2.0 a0 = 1.0 + alpha a1 = -2.0 * cw a2 = 1.0 - alpha # 归一化 s = b0 / a0, b1 / a0, b2 / a0, a1 / a0, a2 / a0 b0n, b1n, b2n, a1n, a2n = s scale = 1 << bits b0i = int(round(b0n * scale)) b1i = int(round(b1n * scale)) b2i = int(round(b2n * scale)) c1i = int(round(-a1n * scale)) # 注意负号 c2i = int(round(-a2n * scale)) return b0i, b1i, b2i, c1i, c2i, scale # 例一：1kHz 采样，50Hz 截止 print(rbj_lpf(50.0, 1000.0)) # 例二：500Hz 采样，10Hz 截止 print(rbj_lpf(10.0, 500.0))

输出就是可以直接填进 C 结构体的初始化值。高通、带通用同样的套路，把 2.2 节的公式对应替换即可。

如果想设计四阶、六阶巴特沃斯，手写公式很烦，建议直接上 scipy：

from scipy.signal import butter fs = 1000.0 fc = 100.0 sos = butter(4, fc, btype='low', fs=fs, output='sos') print(sos)

sos返回的每一行就是一个二阶节的 [b0, b1, b2, a0, a1, a2]，再用上面的脚本逐行转成 Q14 整数，级联使用。

4.2 定点仿真：两类误差都要看

系数量化以后，必须把“浮点设计”和“Q14 定点实现”摆在一起对比，不能只看波特图理论值。两类误差需要分别验证：

幅度响应误差。量化后的滤波器在截止频率附近的增益可能偏零点几分贝，窄带滤波器尤其敏感。我一般直接在仿真里生成白噪声，分别过浮点滤波器和整数滤波器，对比输出频谱。整数滤波器不要直接在 C 里跑，先在 Python 里按 Q14 规则模拟一遍，改参数成本为零。

瞬态与极限环误差。给两个滤波器喂同一个阶跃信号，对比稳定后的残差。如果整数输出在零输入时还残留小幅振荡，那就是第 5 节要讲的极限环问题，要在仿真阶段就发现，不要拖到硬件上查。

量化对极点位置的扰动有个简单经验：Q14 的步进是 6.1e-5，二阶节的极点半径偏移通常在 1e-4 量级，对 Q 值不高的滤波器完全无感；但 Q 值超过 10、带宽极窄的滤波器，极点本来就压在单位圆边缘，量化后可能越界。这种情况要么降 Q 值，要么用 Q13 甚至 Q12 换取更大的系数表示范围。

4.3 上线前必做的三步检查

代码合入固件之前，我的固定流程就三步：

第一步，直流增益检查。算一下 (b0i + b1i + b2i) / (S - c1i - c2i)，确认在可接受偏差内。这一步能拦住绝大多数系数符号搞反的错误。

第二步，阶跃响应与最坏情况扫描。输入按预期最大物理量换算成整数，再叠加一个正弦扫频信号，跑 10 万个样点，观察 acc 是否有逼近 int32 边界的时刻。顺手把滤波器初始化状态设成满幅，测启动瞬态会不会冲过头。

第三步，稳定性复核。用 3.2 节的两条不等式在整数域验证，别只在浮点上验证。极点是否在单位圆内，要以量化后的系数为准，而不是以设计稿为准。

5. 实战踩坑与排障实录

5.1 案例一：零输入下输出冒出的 ±1 LSB“鬼信号”

某次用整数滤波器处理压力传感器数据，把传感器断开、输入置零，示波器上看输出仍有幅度 1-2 个 LSB 的小幅振荡，频率还和滤波器谐振频率相关。排查半天，是典型的极限环现象。

极限环的成因在反馈路径的舍入误差。零输入时，输出状态全靠上一拍的历史值通过 c1、c2 反馈回来。如果舍入方向总是让这个反馈量“偏向”同一边，状态就不会彻底衰减到零，而是停在某个极小幅度上自我维持。DF1 结构配合四舍五入，极限环的幅度通常不超过 1-2 个 LSB，所以在 16 位数据链路里常常被当成噪声忽略。

处理方式我一般按场景选：

• 传感器场景：1 个 LSB 的振荡远小于传感器本身噪声，直接接受，不加代码；
• 音频场景：会变成可闻的本底噪声，建议在反馈路径改用“朝零截断”（magnitude truncation），即 acc 为正向下取整、为负向上取整，用牺牲微小直流偏差换极限环消失；
• 实在敏感的场合：输出端加一个死区，幅度小于 2 LSB 直接清零。

5.2 案例二：采样间隔抖动导致截止频率漂移

另一个真实教训：滤波代码放在主循环里，用HAL_GetTick()判断“差不多到 1ms 了就跑一次”。功能看起来正常，但实测截止频率和设计值对不上，低通变成了“低通带一点锯齿”。原因是主循环被其他任务打断，实际采样间隔在 0.9ms 到 1.3ms 之间随机抖动。IIR 滤波器所有系数都建立在固定采样率假设上，间隔一变，截止频率跟着变。

正确做法是把滤波器挂在定时器中断或者 ADC 完成中断里，保证调用间隔固定。如果主循环里干很多活，就用 DMA + 定时器触发 ADC，转换完成中断里直接读数据、滤波、输出，一气呵成。滤波器的时钟就是采样节拍，节拍乱了一切白搭。

5.3 案例三：高 Q 窄带滤波器量化后不稳定

做某个音频均衡功能时，浮点仿真完全正常，切到 Q14 整数实现后，输出越来越大，直到饱和。问题出在窄带高 Q 滤波器的系数本来就贴着稳定性边界。浮点设计时 a2 是 0.9971，量化后变成 0.9976，少了一位有效数字，极点就挪出了单位圆。

这类问题的排查方法很直接：用 3.2 节的两条不等式去验整数系数，一旦第二条不满足，基本就是量化后的极点越界。解决路径有三条：换 Q13 或 Q12，牺牲一点精度换取系数表示范围；把窄带滤波器拆成两个宽带二阶节级联；或者改用 DF2T 结构加整节后缩放。

我在这个案例里的最终方案是改用 Q13 再把 Q 值从 12 降到 9，输出波形和浮点设计偏差小于 0.1dB，稳定跑完整个老化测试。

5.4 常见问题速查表

6. 把整数滤波器做成一个可复用的模块

6.1 接口设计的两个原则

实际项目里滤波器不会只有一个，ADC 去噪一个、电压环一个、诊断通道一个。把 biquad 封装成独立模块，接口设计我坚持两个原则：

第一，状态和数据分离。系数字段在运行期不该被修改，状态字段每拍都在变。初始化时用结构体赋值一次性写入系数，处理函数只碰状态。这样多个滤波器实例共用同一组系数时，可以在内存里只存一份系数表，状态分开。

第二，处理函数不做任何 I/O。滤波函数只负责“输入一个样点、输出一个样点”，调用者决定数据从哪来、送到哪去。这样做的好处是滤波函数天然可重入、可单元测试，后续无论接 ADC 还是接通信接口都不用改。

一个顺手的小设计是把处理函数做成内联的，因为每个采样周期都要调用，函数调用开销在极端场景下也值得省。

6.2 级联二阶节：四阶及以上滤波的实现方式

需要更陡的衰减曲线时，直接写高阶差分方程容易数值不稳定，工程标准做法是把高阶滤波器分解成多个二阶节级联。以四阶 Butterworth 低通为例，scipy 输出两行 SOS 数据，每行生成一个 biquad_q14_t 实例，按顺序处理：

biquad_q14_t sec1 = { /* 第一节系数 */ }; biquad_q14_t sec2 = { /* 第二节系数 */ }; int16_t process_4th(int16_t x) { x = biquad_df1_process(&sec1, x); x = biquad_df1_process(&sec2, x); return x; }

级联时每一级的输出就是下一级的输入。中间信号可能超过 16 位范围，所以中间传递我建议用 int32_t 或者把各级输入限制在 14 位以内。级联顺序也有讲究，一般把 Q 值高、动态范围大的环节放在后面，降低中间饱和概率。这个规律在仿真里可以验证。

6.3 选型：整数 IIR 和滑动平均到底怎么选

常有人问我，传感器去噪是不是用滑动平均就够了？答案是看需求。滑动平均（FIR 类）没有反馈，绝对不会不稳定，线性相位也无失真，但它衰减斜率固定，对采样率附近的噪声抑制能力弱，而且需要 FIFO 缓冲区。

IIR biquad 用几个状态变量换来陡峭的滚降，适合需要干净频带的场景，代价是相位非线性和潜在稳定性问题。我的习惯是这个：只压白噪声、不关心过渡带形状，用滑动平均或一阶 FIR 省事；需要在某个频点以下保留信号、之上彻底压掉，比如 50Hz 工频之外的振动噪声，就上 biquad。

纯整数 biquad 这个组件我前后用了三四年，踩过溢出、踩过极限环、踩过采样抖动，最后沉淀下来的就是这套“公式算系数 + Q14 定标 + 仿真验证 + 中断里跑”的流程。它最大的价值不在于省那几微秒，而在于让滤波器的行为变得可预测：同样的输入，永远在同样的周期数里给出同样的输出，这在控制环和实时系统里比任何精度提升都重要。

最后分享一个我一直保留的土办法：每一版系数合入固件前，把第 4 节的 Python 脚本跑出的整数系数，连同浮点参考值一起贴到注释里。三个月后回来改代码的人（通常就是你自己）看到那两行注释，能省掉一整个下午的重新推导时间。