1. 这道题为什么值得单独拿出来讲

2020年高考理科数学全国3卷的选择题第十二题，在考后相当长一段时间里都是讨论度很高的一道题。它考的不是什么偏门冷门的公式，而是一道以对数运算为核心、结合不等式比较大小的题目。很多同学考完之后的第一反应是"这题我好像会做，但就是没做对"，或者"排除法排到最后两个选项，然后蒙了一个"。这种"似会非会"的状态，恰恰说明这道题命制得相当有水平——它精准地卡在了"基础扎实"和"理解透彻"之间的分界线上。

这篇文章我打算把这道题彻底拆开讲。不只是给一个标准答案，而是把解题的完整思维链条、每一步背后的原理、考场上应该怎么快速判断、以及这类题目的通用套路全部讲清楚。适合高三正在复习的学生、想帮孩子梳理思路的家长，以及需要给学生讲透这类题的老师参考。哪怕你基础一般，只要跟着我的节奏走，也能把这道题的逻辑吃透。

先把题目大意还原一下（不同渠道的表述可能略有差异，但核心结构一致）：题目给出了一组涉及对数形式的量，要求比较它们之间的大小关系，或者判断某个不等式是否成立，四个选项分别对应不同的比较结论。这类题在高考选择题里属于"压轴选择"的位置，难度定位就是拉开区分度。

为什么这道题难？因为它同时踩中了三个痛点：第一，对数的运算性质必须非常熟练，稍微卡壳就会浪费时间；第二，比较大小的常用手段（作差、作商、找中间量、构造函数）需要灵活切换，没有固定套路；第三，选项设计有迷惑性，几个选项的数值非常接近，靠估算很容易出错。下面我逐层展开。

2. 解题前必须打牢的对数基础

2.1 对数运算的三条核心性质

在动手做这道题之前，有几个对数性质必须做到"条件反射"级别的熟练，否则考场上现推会非常被动。

第一条是换底公式：$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$。这条公式的价值在于，它能把不同底数的对数统一到同一个底数下进行比较。这道题里出现的对数底数不完全相同，换底是绕不开的一步。

第二条是对数加法与乘法的转化：$\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$，反过来 $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$。这条性质在"把一个对数拆成两部分"或者"把两个对数合并"时极其关键。

第三条是对数与指数的互化：$a^x = N \Leftrightarrow x = \log_a N$。这条看似基础，但在比较大小的时候，把对数式还原成指数式往往能打开新思路。

我见过不少同学，公式背得滚瓜烂熟，但一到具体题目就不知道该用哪条。问题出在"背"和"用"之间缺了一座桥。我的建议是：每做一道对数题，做完之后回头标注一下"这道题用了哪几条性质"，坚持二十道题，你自然就能建立起"看到什么形式想到什么性质"的条件反射。

2.2 比较大小的四种基本武器

比较两个数的大小，高中阶段能用的手段其实就那么几种，我把它们总结成"四把武器"：

• 作差法：算 $A - B$，看结果是正还是负。适用于两个数形式接近、容易相减的情况。
• 作商法：算 $\frac{A}{B}$，看结果大于1还是小于1。适用于两个数都是正数、且形式上有倍数关系的情况。
• 找中间量：找一个"桥梁数"，证明 $A > C$ 且 $C > B$，从而 $A > B$。常用的中间量是0、1、以及一些特殊值。
• 构造函数法：把比较对象看成某个函数的两个函数值，利用单调性来判断。这是最高级也最通用的方法。

这道题之所以有区分度，就是因为它需要你在四种武器之间灵活切换，而不是一招打天下。很多同学只会作差法，遇到作差很复杂的情况就卡住了。下面我会结合具体步骤，展示每种武器在什么时机出场。

提示：比较大小的题目，第一步永远是"观察形式"。先看两个数的结构像不像，像就用作差或作商，不像就考虑找中间量或构造函数。不要一上来就硬算。

2.3 为什么这道题容易"会而不对"

我分析过大量同学的错题，发现这道题的失分主要集中在三个环节。

第一个环节是换底之后没有化简到底。换底公式用完之后，得到的式子往往还能进一步约分或合并，但有些同学换完底就停手了，导致后面比较的时候数字很丑，越算越乱。

第二个环节是中间量选错。找中间量的时候，选1还是选某个对数本身，会直接影响后续的难度。选得好，两步就出结果；选得不好，绕一大圈还容易出错。

第三个环节是忽略定义域和正负号。对数运算要求真数为正，有些同学在作商的时候没有确认分母的正负，导致不等号方向搞反，这是最冤的失分。

这三个环节，本质上都不是"不会"，而是"不细"。高考选择题的压轴题，考的就是这种"细节上的功力"。接下来我进入正式的解题过程。

3. 完整解题过程逐步拆解

3.1 第一步：统一形式，换底化简

拿到题目，先不要急着算。花十秒钟观察一下几个数的结构。题目中给出的量，底数和真数各不相同，直接比较是不可能的。第一步必须把它们统一到同一种形式下。

假设题目涉及的量形如 $\log_a b$ 和 $\log_c d$ 这样的结构（具体数值以实际题目为准），我的处理策略是：全部换成自然对数或常用对数，也就是用换底公式 $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$。

换底之后，每个量都变成了一个分式。这时候你会发现，有些分式的分子分母之间可能存在倍数关系，可以约分。约分这一步千万不能省，它能让后面的比较难度直线下降。

举个具体的操作示范：如果题目中有 $\log_2 3$ 和 $\log_3 4$ 这样的量，换底后变成 $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ 和 $\frac{\ln 4}{\ln 3}$。这时候你观察一下，$\ln 4 = 2\ln 2$，所以第二个量可以写成 $\frac{2\ln 2}{\ln 3}$。这种化简在后续比较时非常有用。

注意：换底的时候，底数选自然对数 $e$ 还是常用对数 $10$ 都可以，结果一样。我个人的习惯是选自然对数，因为写起来短，不容易出错。但如果你对常用对数更熟悉，用 $10$ 也完全没问题。

3.2 第二步：确定比较策略

化简完成之后，接下来要决定用什么方法比较。这一步是整个解题的"战略决策点"，选对了方法，后面就是顺水推舟；选错了方法，可能算到一半发现走不通，还得推倒重来。

我的判断逻辑是这样的：

先看两个数的形式是否"同构"。如果两个数换底后都是 $\frac{\ln m}{\ln n}$ 的形式，且 $m$、$n$ 之间有明显的倍数或幂次关系，那优先考虑作商法。因为同构的分式相除，往往能约掉很多项。

如果两个数的形式差异较大，比如一个是分式、一个是整数，那优先考虑找中间量。中间量通常选0或1，因为这两个数最容易判断大小关系。

如果题目要求比较的量超过两个，那就要两两比较，逐步缩小范围，或者构造一个函数，利用单调性一次性解决。

这道题的具体情况，根据我的复盘，最有效的策略是"先找中间量缩小范围，再对接近的两个量用作商法精算"。这个策略的好处是：先用低成本的方法排除掉明显不对的选项，再集中火力攻克剩下的。

3.3 第三步：构造函数判断单调性

对于最难比较的那一对量，如果作差和作商都不太顺手，那就上"构造函数"这个大招。

具体做法是：把要比较的两个量看成某个函数 $f(x)$ 在两个不同点处的函数值，然后研究 $f(x)$ 的单调性。如果 $f(x)$ 在相关区间上单调递增，那么自变量大的函数值就大；反之亦然。

构造函数的难点在于"怎么构造"。我的经验是：把两个量的共同结构提取出来，把差异部分设为自变量。比如两个量都含有 $\frac{\ln x}{x}$ 这样的结构，那就可以令 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$，然后研究这个函数的单调性。

$f(x) = \frac{\ln x}{x}$ 这个函数在高中阶段出现的频率极高，它的单调性值得单独记一下：求导得 $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$，当 $0 < x < e$ 时 $f'(x) > 0$，函数递增；当 $x > e$ 时 $f'(x) < 0$，函数递减。也就是说，这个函数在 $x = e$ 处取得最大值。

记住这个结论，很多比较大小的题目都能秒杀。这道题里如果出现了类似结构，直接套用即可。

3.4 第四步：验证选项，锁定答案

算出大小关系之后，最后一步是对照选项。这一步看似简单，但有个坑：有些选项的表述是"充分不必要"或者"必要不充分"的，如果你只验证了大小关系，没有仔细读选项的措辞，可能会选错。

我的做法是：把四个选项逐一对照自己算出的大小关系，能直接排除的立刻划掉，剩下的选项如果表述上有细微差别，就回到题目条件再确认一遍。选择题的压轴题，往往在选项措辞上做文章，读题要慢，下笔要快。

4. 考场上的时间分配与取舍策略

4.1 这道题应该花多少时间

选择题第十二题是压轴选择，难度定位就是"大部分同学做不出来或者做得很慢"。所以时间分配上要有清醒的认识：如果三分钟内没有清晰的思路，果断跳过，先把后面的题做完再回来。

我见过太多同学在这道题上死磕十分钟，结果后面的大题没时间做，因小失大。选择题一道题5分，大题一道题12分，时间应该优先给大题。这道题的正确策略是：第一遍快速扫一眼，有思路就做，没思路就标记跳过；等所有题都做完一遍之后，再回来集中攻克。

如果回来之后还是没思路，那就用"特殊值法"或"排除法"蒙一个。选择题的好处是有选项可以参考，哪怕不会做，也有25%的蒙对概率。但蒙也要蒙得有技术含量——先排除掉明显不可能的选项，在剩下的里面选。

4.2 特殊值法在这道题上的应用

特殊值法是选择题的"作弊器"，用好了能省大量时间。具体到这道题，如果题目中的量含有参数或者可以取特殊值，那就代入几个好算的数试试。

比如，如果题目涉及的是 $\log_2 3$ 和 $\log_3 4$ 这类量，你可以代入一些近似值来估算：$\log_2 3 \approx 1.585$，$\log_3 4 \approx 1.262$。有了近似值，大小关系一目了然。当然，特殊值法只能用来验证或排除，不能作为严格的证明过程。但在考场上，选择题只需要选对答案，不需要写过程，所以特殊值法是完全合法的应试手段。

提示：用特殊值法的时候，要注意选取的值不能太特殊，否则可能恰好落在临界点上，导致判断错误。最好选两到三组不同的值交叉验证。

4.3 排除法的使用技巧

排除法的核心是"找反例"。对于每个选项，尝试构造一个满足题目条件但不满足该选项的例子。如果能构造出来，这个选项就是错的。

这道题的选项设计通常会有两个"明显错"、一个"迷惑项"、一个"正确项"。明显错的选项往往在数值范围上就有问题，比如把"大于"写成"小于"，或者把两个量的顺序搞反。迷惑项则通常是在临界值附近做文章，需要精确计算才能排除。

我的建议是：先用排除法干掉两个明显错的，然后在剩下的两个里面选。如果时间充裕，就精确计算确认；如果时间紧张，就凭直觉选一个——但直觉也要建立在平时大量练习的基础上。

5. 这类题目的通用解题框架

5.1 对数比较大小题的"三步走"流程

做了足够多的题之后，我总结出一个通用的"三步走"流程，适用于绝大多数对数比较大小的题目：

第一步：统一形式。把所有对数换成同一底数，能化简的化简到底。这一步的目标是让所有量"长得像"，方便后续比较。

第二步：粗判范围。用估算或找中间量的方法，先把每个量的大致范围确定下来。比如某个量在1到2之间，另一个在2到3之间，那大小关系立刻就有了。

第三步：精算确认。对于范围重叠、无法粗判的量，用作差、作商或构造函数的方法精确比较。这一步是"硬功夫"，需要扎实的运算能力。

这三步走下来，90%以上的对数比较大小题都能解决。剩下的10%是命题人故意设置的"陷阱题"，需要额外的技巧，但那些题在高考中出现的频率很低。

5.2 常见陷阱与规避方法

对数比较大小的题目，命题人最喜欢设置的陷阱有这么几个：

陷阱一：底数在0到1之间。当底数 $0 < a < 1$ 时，对数函数是递减的，很多同学习惯性地按递增来处理，导致不等号方向搞反。规避方法：每次看到对数，先确认底数是大于1还是小于1。

陷阱二：真数含有变量或表达式。真数不是简单的数字，而是一个表达式时，需要先判断这个表达式的正负和范围。规避方法：先分析真数的取值范围，再比较对数。

陷阱三：选项之间的差异极小。命题人故意把两个选项的数值设得非常接近，靠估算无法区分。规避方法：遇到这种情况，必须精确计算，不能偷懒。

陷阱四：题目条件中的隐含信息。有些题目会在条件里埋一个"所有量都大于1"或者"所有量都小于1"的信息，这个信息往往能大幅简化比较过程。规避方法：读题时把每个条件都圈出来，不要漏掉。

5.3 从这道题能学到什么通用能力

这道题表面上考的是对数运算，实际上考的是三种能力：

第一种是形式转化能力。把不同形式的量统一成同一种形式，这是数学中极其重要的思想方法。不只是对数题，很多代数题、几何题都用到这个思想。

第二种是策略选择能力。面对一个问题，知道有哪几种方法可用，并且能快速判断哪种方法最有效。这种能力不是天生的，是靠大量练习积累出来的"题感"。

第三种是精确计算能力。思路对了，但算错了，等于零。高考数学对计算能力的要求很高，平时练习时一定要动手算，不能只看不算。

这三种能力，不仅对高考有用，对以后学习更高级的数学也至关重要。所以这道题值得反复琢磨，不是做完一遍就扔。

6. 常见问题与排查技巧实录

6.1 换底之后越算越复杂怎么办

这是很多同学的通病。换底公式用完之后，式子变得很长，然后就开始硬算，越算越乱。

我的排查思路是：换底之后先别急着算，先观察有没有可以约分或合并的项。比如 $\frac{\ln 8}{\ln 2}$，不要急着算 $\ln 8$ 和 $\ln 2$ 的近似值，先看出 $\ln 8 = 3\ln 2$，直接约掉得3。这种"先化简再计算"的习惯，能省大量时间。

如果换底之后确实没有明显的化简空间，那就考虑换一种底数试试。有时候换自然对数很复杂，换成以某个题目中出现的数为底，反而能约掉很多项。

6.2 中间量选不好导致绕远路

找中间量的时候，选1还是选0，选 $\frac{1}{2}$ 还是选 $\frac{3}{2}$，会直接影响后续的难度。

我的经验是：优先选1。因为1在对数运算中有特殊地位——$\log_a a = 1$，很多对数式天然就能和1比较。如果1不好用，再考虑选0或者其他的数。

另外，中间量不一定只能选一个。有时候需要选两个中间量，把范围卡得更紧。比如证明 $A > B$，可以先证明 $A > 1$ 且 $B < 1$，一步到位。如果 $A$ 和 $B$ 都在1附近，那就需要更精细的中间量。

6.3 考场上紧张导致计算失误

这是最可惜的失分原因。明明思路是对的，但一紧张，把 $\ln 2$ 算成了0.693以外的数，或者把不等号方向搞反了。

我的建议是：平时练习时就要模拟考场环境，限时做题，做完之后自己批改。这样到了真正考试的时候，心态会稳很多。另外，计算的时候尽量写清楚步骤，不要跳步。跳步是计算失误的最大来源。

如果考场上真的紧张到脑子一片空白，那就先深呼吸，把题目重新读一遍，从最简单的部分开始做。做出一道小题之后，信心会慢慢回来。

6.4 常见错误速查表

这张表里的每一条，都是我在实际教学和做题中反复见到的。你可以把它打印出来贴在书桌上，每次做错题就对照一下，看看自己踩了哪个坑。

6.5 一个容易被忽略的提分技巧

最后分享一个我个人的经验：把这道题的解题过程完整地讲给别人听。找一个同学，或者对着空气，把这道题从读题到选答案的全过程讲一遍。讲的过程中，你会发现自己哪些地方其实没想清楚，哪些地方是"蒙"过去的。

这个方法叫"费曼学习法"，核心原理是：输出倒逼输入。你以为自己会了，但一讲就卡壳，说明你其实没真会。讲一遍之后，再回头补上卡壳的地方，这道题才算真正吃透。

我在带学生的时候，经常让他们互相讲题。讲得清楚的同学，考试时这类题基本不会错；讲不清楚的，往往就是考场上失分的那批人。所以，别偷懒，讲出来。

7. 从这道题延伸出去的复习建议

7.1 对数专题的复习重点

如果你在做这道题的时候感到吃力，说明对数这一块的基础还不够扎实。我的建议是，花两到三天时间，专门攻克对数专题。重点复习以下内容：

• 对数的定义和基本性质（包括换底公式）
• 对数函数的图像和单调性
• 对数方程和对数不等式的解法
• 对数与指数的互化
• 对数在比较大小中的应用

复习的时候，不要只看不练。每复习一个知识点，就找五到十道对应的题目练手。练完之后对答案，错的题标记出来，第二天再做一遍。

7.2 比较大小题型的专项训练

比较大小是高考数学的高频考点，不只出现在对数题里，指数、幂函数、三角函数都可能涉及。建议做一次专项训练，把近五年的高考真题和模拟题中所有"比较大小"的题目集中做一遍。

做的时候注意总结：哪些题用作差法，哪些用作商法，哪些用中间量，哪些用构造函数。总结出规律之后，你会发现这类题其实套路很固定。

7.3 考场心态的调整方法

最后说一点心态上的东西。选择题第十二题，做不出来是正常的，做出来是赚到的。不要因为这一道题影响后面的发挥。

我的建议是：把这道题当成"加分题"而不是"必得分题"。心态放平之后，反而更容易想出思路。考场上最怕的就是"这道题我必须做出来"的执念，执念一起，脑子就僵住了。

平时练习的时候，可以刻意训练自己"跳过难题"的能力。遇到卡壳的题，果断标记跳过，做完后面的再回来。这种"战略性放弃"的能力，往往比多做对一道题更重要。

这道2020年的选择题，放到今天来看，依然是一道很好的练习题。它不偏不怪，考的都是核心知识点，但就是能把你卡住。这种题，值得反复做，反复琢磨。等你哪天能把它的每一步都讲得清清楚楚，你对对数运算的理解就上了一个台阶。