简介：Dr.CAN《自动控制原理》13期课程笔记，是学习者根据B站硬核系列内容整理的手写复习资料，面向刚接触传递函数、稳定性分析等基础知识的工科学生，也适合考研或准备深入进阶控制理论的人。笔记覆盖开环与闭环系统、反馈控制、传递函数、稳定性分析、根轨迹、终值定理与稳态误差、PID控制器等核心模块，内容参照Dr.CAN的视频讲解，以截屏配合手写批注的方式保留了推导过程和例题，特别适合喜欢手写记录但没时间自己截屏做笔记的同学。资源整体打包为1个12.27MB的PDF文件，字迹清晰，十三期内容汇总于一体，平日可在平板或打印后随时查阅。目前已有847人学习下载，这套笔记既可当作复习提纲，也可作为对照视频查缺补漏的学习地图，有助于快速串联自动控制原理的重点脉络，为后续理解卡尔曼滤波、MPC与最优控制打下扎实基础。

1. 自动控制原理：一张从传递函数到根轨迹的知识地图

Dr.CAN 的《自动控制原理》课程笔记 13 期，恰好覆盖了自动控制理论最核心的一条主线：从开环与闭环的区分开始，依次经过传递函数、稳定性分析、终值定理与稳态误差，再到 PID 控制器设计和根轨迹绘制。这套笔记适合两类人：一类是即将接触控制理论相关研究、但基础还没打牢的研究生，另一类是本科阶段学过自控原理、考前需要一份能快速定位薄弱点的复习索引。梳理下来会发现，13 期内容始终围绕同一个核心问题展开——如何判断一个系统稳不稳定，以及不稳定时怎么通过控制器把它拉回稳定。笔记是截屏加手写整理的形式，适合当作查漏补缺的地图来用，而不是从头通读的教材。专题目前更新到奈奎斯特图第一部分，后面的卡尔曼滤波、模型预测控制和最优控制还有待作者补全，但就这 13 期而言，已经足够把自动控制原理的地基打牢。下面按知识模块逐层拆开。

2. 开环与闭环：反馈为什么是控制系统的分水岭

2.1 开环系统的局限：扰动来了只能认栽

开环系统是控制理论里最朴素的结构：输入经过控制器和对象直接变成输出，中间没有任何一条通路把输出送回来与期望值比较。笔记里用两个例子把这个概念钉得很死。第一个是"跺脚给小球"：人对小球跺一下脚，相当于给系统一个单位冲激形式的扰动，小球被踢出去之后，系统没有感知、没有修正，只能接受"踢偏了就偏了"的结果。第二个是单摆：把单摆摆在某个平衡位置它能保持不动，可一旦被外力推离平衡点，在没有额外干预的情况下，它靠自己是永远回不到原来位置的。

这两个例子的共同点是：系统对自身的偏差"无知无觉"。开环控制不关心实际输出到底是多少，它只按照预设的输入去动作。所以开环系统的精度完全依赖两个前提：模型足够准确，扰动足够小。笔记里那句"下雨漏水生锈 ⇒ 反馈闭环系统"其实是个很贴切的类比：机械结构用久了会生锈，参数漂移是必然的，开环系统面对这种漂移毫无办法，只能眼睁睁看着输出偏差越来越大。这也是为什么工程上但凡对精度有要求的场合，几乎不会采用纯开环结构。

但开环并不是一无是处。它结构简单、成本低、不需要传感器，也更不存在稳定性问题——开环系统只要对象本身稳定，整个系统就是稳定的。很多场合，比如步进电机的开环定位、不需要精确调速的风扇，依然在用开环控制。理解这一点，才能理解后面闭环系统的代价：引入反馈虽然换来了精度和抗扰能力，但也引入了振荡、发散这类新的稳定性问题。

2.2 闭环反馈：误差驱动的控制回路

闭环系统在开环结构上多了一条反馈通路：实际输出被测量回来，与期望值（desired value）做差，得到误差信号，控制器再依据这个误差去驱动对象。笔记把这一步提炼为"反馈控制是闭环系统的核心"，核心动作就是比较期望输出与实际输出的差值来调整控制信号，从而改善系统性能。

用公式表达就是：误差 e(t) = r(t) − y(t)，其中 r(t) 是期望值，y(t) 是实际输出，控制量则是误差的函数。闭环的价值在于：不管误差来自模型不准、参数漂移还是外部扰动，只要误差不为零，控制器就会持续修正，直到误差被压下去。这就是笔记里说的"结果闭相等"——闭环让实际输出不断向期望值收敛。反馈还提高了系统对自身参数变化的容忍度，哪怕对象模型有一定误差，闭环依然能维持可接受的性能。

不过反馈不是免费的。引入闭环之后，系统可能出现振荡甚至发散，稳定性成了必须正面回答的问题；同时反馈还带来传感器噪声、测量延迟等新的麻烦。所以自动控制原理在讲完闭环结构之后，分析重心立刻转向"回路稳定性"，传递函数和极点分析由此登场。可以说，开环与闭环的分界线，就是自动控制理论真正的起点。

2.3 传递函数：把系统动态装进一个数学黑匣子

传递函数是自动控制原理里出现频率最高的工具。它定义为零初始条件下，输出拉普拉斯变换与输入拉普拉斯变换之比：G(s) = Y(s) / U(s)。笔记里专门强调了分母与分子的分工：分母（Denominator）决定系统的固有动态特性，分子（Numerator）决定输入信号如何进入系统。令分母为零得到的方程就是特征方程，它的根就是系统的极点。

举个例子，一阶惯性环节 G(s) = 1/(s+1) 的极点是 s = −1。给这个系统一个阶跃输入，输出会以指数形式从 0 逼近 1，逼近的快慢由极点的实部决定：实部绝对值越大，衰减越快，系统响应越敏捷。笔记里那个"减肥"的例子本质上讲的是同一个道理：把身体看成一个系统，饮食摄入是输入，运动消耗是外部扰动，而基础代谢率这类身体参数决定系统的"极点"——大块头基础代谢高，瘦子代谢低，这是系统本身的属性，不是输入端能直接改变的。

梳理下来会发现，传递函数的极点就像系统的"性格密码"：它决定自然响应是衰减还是发散、收敛得快还是慢。后续的稳定性分析、终值定理、根轨迹，本质上全部围绕极点展开。抓住这条暗线，整门自动控制原理就有了主干，后面的内容都是在给这棵主干添枝加叶。

3. 稳定性与稳态误差：极点位置决定系统的"性格"

3.1 为什么极点必须在左半平面：从拉普拉斯反变换说起

稳定性的结论大家都背过：闭环传递函数的所有极点必须位于 s 平面的左半部分。但很多人只记住了结论，说不清背后的原因。笔记用拉普拉斯反变换给出了直观解释：时域响应是由各个极点对应的指数项叠加出来的。假设系统有一个极点 p，那么输出表达式里必然对应一项 C·e^{pt}；如果 p 是重极点，还会乘上 t 的多项式，但长期趋势由 e^{pt} 主导。

• 当 p 的实部小于 0 时，e^{pt} 随 t 增大而衰减到 0，对应项最终消失，系统收敛；
• 当 p 的实部等于 0 时，e^{pt} 变成等幅振荡或常数，系统不会收敛，只会持续振荡；
• 当 p 的实部大于 0 时，e^{pt} 随 t 指数增长，系统发散。

只要有一个极点在右半平面，整个系统的输出就会被这一项带着发散，其他极点再稳定也救不回来。所以"所有极点都在左半平面"不是稳定性讨论里的某个细节，而是稳定性的充要条件（在不考虑零极点对消的前提下）。笔记里强调的"稳定要在左半平面，越靠左越稳"，其实还隐含了另一层：极点实部越负，衰减越快，系统的调节时间越短。

这里必须提醒一个高频概念错误：判断稳定性用的是闭环传递函数的极点，不是开环传递函数的极点。开环极点描述的是对象本身的固有动态，闭环极点才是整个反馈回路"系统级"的动态。笔记里所有稳定性讨论，最终都落到闭环特征方程 1 + G(s)H(s) = 0 的根上。把这两个概念分清，后面学根轨迹时才不会混乱。

3.2 终值定理：求稳态值的快捷方式与使用前提

终值定理是计算稳态值的一把快刀：如果 f(t) 的终值存在，那么可以直接在复频域里求极限，公式为：lim_{t→∞} f(t) = lim_{s→0} s·F(s)。它的便利之处在于，不需要做拉普拉斯反变换，直接代入 s→0 就能得到时域的稳态值，做题速度能快很多。

但使用前提是终值确实存在。终值存在等价于 s·F(s) 的极点全部位于左半平面，或者至多在原点处有一个单极点（对应阶跃输入的直流分量）。笔记里用一个弹簧阻尼系统演示了三种典型输入下的稳态表现，并特别举了一个反例：一个无阻尼系统在脉冲输入下会无限振动下去，理论上始终回不到 0 附近。这个例子的意义在于揭示终值定理最容易踩的坑——先把公式代进去算出一个数，却没检查这个"终值"到底存不存在。

无阻尼系统的极点在虚轴上，自然响应根本不衰减，终值不存在，此时硬套公式得到的结果是没有任何物理意义的。所以正确的操作顺序是：先求出系统极点 → 确认全部在左半平面（或满足边界条件）→ 再套终值定理 → 最后计算稳态误差。这个顺序是笔记给出的标准动作，做题时按这个顺序走，能避开大部分低级错误。

3.3 三种典型输入的稳态响应：脉冲、阶跃与斜坡

笔记用弹簧阻尼系统对比了三种典型输入下的稳态行为，整理成表会更清晰：

阶跃输入是考试和工程里最常用的输入，因为它的稳态误差定义最直观：稳态误差 = 目标值 − 实际稳态值。斜坡输入则引出了"系统型别"的概念：开环传递函数在原点处的极点个数（也就是积分环节个数），决定了系统对阶跃、斜坡、加速度输入的跟踪能力。积分环节每多一个，能无差跟踪的输入阶次就高一阶，但系统的稳定性余量也随之变差——这是经典控制理论里最典型的一组权衡关系。

这一节的重点是形成一张"输入类型 → 稳态误差是否存在 → 为什么"的对照表。拿到题目先看输入是阶跃还是斜坡，立刻就能判断要不要算稳态误差、误差是有限值还是无穷大。笔记里那句"终值定理的前提是终值必须存在"，放在这张表里理解会格外清晰：系统型别不够，终值本来就发散，一切稳态分析都无从谈起。

4. PID 与根轨迹：控制器设计的两套配套工具

4.1 PID 三种校正作用的分工与代价

PID 控制器的输出由三项叠加而成：u(t) = Kp·e(t) + Ki·∫e(t)dt + Kd·de(t)/dt。笔记对三个环节的定位非常准确：比例项即时响应，积分项消除稳态误差，微分项预测变化趋势并阻尼超调。单独看每一项都不复杂，难的是理解每一项背后的代价。

比例控制的优点是反应最快，误差一出现，控制量立刻跟随。缺点是只凭当前误差无法消除稳态误差，而且增益调得太大，闭环极点可能被推入右半平面，系统振荡甚至发散。积分控制的优点是能把历史误差累积起来：哪怕误差很小，只要持续存在，积分项就会不断增大，直到把误差压到零，这正是它能消除稳态误差的根本原因。但积分同时会抬高系统阶次——笔记里明确写了，给一阶系统加纯积分，系统变成二阶，反应变慢，还可能出现超调。

微分控制的优点是看误差的变化趋势，误差增长时提前输出反向控制量，相当于给系统增加阻尼、抑制超调。代价是对噪声极其敏感：噪声本身就是高频变化的信号，微分会把噪声放大成剧烈的控制量抖动，所以实际工程里纯微分项很少直接使用，通常要配低通滤波器一起用。三者的权衡关系可以用一张表概括：

笔记里还有一句容易被忽略的话：单纯的积分控制并不比纯比例控制更好用。纯积分把一阶系统变成二阶系统，动态响应变慢，而比例控制虽然快却留了稳态误差。PID 之所以是 P、I、D 的组合，就是让每个环节只承担它最擅长的那部分任务，互相补位而不是互相替代。

4.2 根轨迹：看闭环极点随增益怎么走

根轨迹回答的问题是：当开环增益 K 从 0 变到无穷大时，闭环极点如何在复平面上移动。闭环特征方程是 1 + K·G(s)H(s) = 0，K 变化时，特征方程的根——也就是闭环极点——会画出若干条轨迹。这个过程用代码可以很直观地可视化：

% 构造开环传递函数 G(s) = K / [s(s+1)(s+2)] num = [1]; den = conv([1 0], conv([1 1], [1 2])); sys = tf(num, den); % 绘制根轨迹：K 从 0 扫到无穷，自动计算并画出闭环极点轨迹 rlocus(sys); grid on;

这段代码里，conv是多项式乘法，把三个因子 (s)(s+1)(s+2) 逐次乘开得到分母多项式；tf(num, den)用分子分母多项式构造传递函数对象；rlocus是核心命令，自动扫 K 并绘制根轨迹。实际考试和手绘时，不依赖软件也能画，靠的是几条几何规则：根轨迹的条数等于开环极点数与开环零点数中较大的那个；每条轨迹从开环极点出发，终止于开环零点或无穷远；实轴上的某一段，当且仅当它右侧的开环零、极点总数为奇数时，才是根轨迹的一部分；轨迹趋向无穷远时沿着渐近线走，渐近线的交点和方向由零极点的分布算出。

根轨迹的价值在于设计：你希望闭环极点落在"合适阻尼比"对应的位置，就从根轨迹图上找到这个位置，读出对应的 K 值。这也回应了笔记开头的问题——为什么费劲画根轨迹：稳定不仅要"稳"，还要稳得好看，超调不能太大、响应不能太慢，而阻尼比就是衡量"稳得好看"的核心指标。根轨迹把抽象的增益 K 和具体的动态品质直接挂钩，是连接分析与设计的一座桥。

4.3 分离点与汇合点：根轨迹的几何关键点

在实轴上，根轨迹可能在某个点分成两条进入复平面，这个点叫分离点（breakaway point）；也可能从复平面回到实轴合并，这个点叫汇合点。分离点对应系统从过阻尼过渡到欠阻尼的临界状态，工程上通常希望工作点选在这个临界值附近或略高的位置，以获得合适的阻尼和响应速度。

分离点 s_b 的常用求法有两种。第一种是解析法：从特征方程反解出 K 关于 s 的函数 K(s)，再令 dK/ds = 0。第二种是几何法：利用相角条件的极限形式，对所有开环零点和极点求距离倒数之和的等式：∑ 1/(s_b − p_i) = ∑ 1/(s_b − z_j)，其中 p_i 是开环极点，z_j 是开环零点。第二种方法在零极点数量不多时手算更快。解析法可以用代码实现：

% 求解分离点：对特征方程反解 K，再令 dK/ds = 0 syms s K; G = K / (s*(s+1)*(s+2)); % 特征方程 1 + G = 0，反解出 K 关于 s 的表达式 K_expr = solve(1 + G == 0, K); % 求 dK/ds 并令其为零，得到候选分离点 sep_candidates = solve(diff(K_expr, s) == 0, s); double(sep_candidates)

注意：dK/ds = 0 解出来的实根不一定都是分离点。必须逐个验证"该点确实位于实轴的根轨迹段内"和"对应的 K 值为正"这两个条件，缺一个都要舍掉。这是根轨迹部分最高频的丢分点。

汇合点的情况类似，区别在于它对应轨迹从复平面回到实轴的临界状态。掌握分离点、汇合点的计算与验证，再配合渐近线和虚轴交点，就能完整画出根轨迹草图，并从中读出临界增益、阻尼比、振荡频率这些关键性能指标。笔记里那句"分离点是根轨迹从实轴分开的地方，汇合点是重新合并的地方"，配合几何性质理解，就能把根轨迹从"背规则"提升到"看得懂走向"。

5. 易漏点与易错点：从判稳到画根轨迹的常见翻车

5.1 易漏点一：稳定性判断前，先确认系统适不适用传递函数

为什么漏：很多人拿到题目就开始求极点、判稳定性，忽略了一个大前提——传递函数描述的是线性时不变系统。笔记里所有推导都隐含了这个假设，但它没有单独被拎出来强调，于是成为第一个被跳过的前提。

怎么补：做题前先问三个问题：系统是线性的吗？参数随时间变化吗？初始条件能假设为零吗？只要有一个不满足，传递函数这套工具就不能直接用。实际工程里很多对象是非线性的，必须先在工作点附近做线性化，才能进入传递函数分析。复习时可以把"先确认 LTI 前提"写成一道固定工序，放在所有计算的第一步。

5.2 易漏点二：终值定理不是"直接代入 s=0"就完事

为什么漏：终值定理的公式看起来太简单，lim_{s→0} s·F(s)，导致很多人忽略它的成立条件——终值必须存在。笔记里那个无阻尼弹簧系统就是典型反例：极点在虚轴上，时间响应等幅振荡，终值根本不存在，硬套公式会得到一个看似有限、实际毫无意义的结果。

怎么补：把"先验稳定性"固化成终值定理的前置步骤。每次用终值定理，先花十秒写出系统极点，确认全部在左半平面（或只有原点单极点），再套公式。这个习惯能避免绝大多数稳态误差的计算错误。宁可多花十秒验证，也不要为了赶时间跳步。

5.3 易漏点三：分离点求出来之后还要做两个验证

为什么漏：用 dK/ds = 0 求分离点，解出来一个或几个 s 值，很多人直接取实数解当答案。但实际上，求导得到的候选点只是 K(s) 函数的驻点，它不一定在实轴的根轨迹段上，对应的 K 也可能是负的，这两种情况都没有工程意义。

怎么补：求出候选点后做两道检查：第一，代入相角条件，确认该点右侧的开环零、极点总数为奇数，也就是它确实位于实轴的根轨迹段内；第二，把该点代回特征方程反解 K，确认 K 为正。两个条件都满足，才是真正的分离点或汇合点。

5.4 易漏点四：PID 不是"积分越强越精确"

为什么漏：初学者看到积分能消除稳态误差，容易把积分增益往大了调，觉得积得越快、误差消得越快。但笔记明确写了，引入积分会把一阶系统变成二阶系统，纯积分环节的动态响应变慢，还可能引发振荡和超调。积分不是免费的，它是用动态性能换稳态精度。

怎么补：把 PID 整定理解成多参数权衡的过程，而不是单参数寻优。先用比例项把系统调到临界稳定附近，再逐步加积分消除稳态误差，最后用微分项压超调。每次只调一个参数，观察响应曲线的变化，比三个参数一起乱调可靠得多。

5.5 易漏点五：开环极点与闭环极点混为一谈

为什么漏：根轨迹图上画的是开环零极点，但判断稳定性用的是闭环极点。笔记用 1 + K·G(s)H(s) = 0 把两者联系起来，很多人画完根轨迹就忘了这层关系，直接拿开环极点讨论稳定性，得出完全错误的结论。

怎么补：记住一句话：根轨迹是"从开环零极点出发，画闭环极点的走向"。图上每一个点都对应某个 K 值下的闭环极点，但只有 K 取特定值时，该点才是实际的工作点。稳定性讨论永远针对闭环传递函数的分母，也就是特征方程 1 + K·G(s)H(s) = 0 的根。每次画完根轨迹，都追问自己一句"我现在讨论的是开环还是闭环"，能少掉一半的混淆。

6. 复习清单：从查漏补缺到徒手画根轨迹的检查表

最后这张检查表，是我把这 13 期笔记重新过了一遍之后整理出来的。它的用法不是从头读到尾，而是对着表格逐项自测：哪一项卡住了，就回头翻对应的笔记章节，把它补到能独立讲清楚为止。

复习顺序建议按"传递函数 → 极点判稳 → 终值定理 → PID → 根轨迹"走。前两步是地基，后三步是设计工具。如果时间只够做一件事，就把"稳定 ⇔ 闭环极点全在左半平面"这层关系彻底吃透，后面所有内容都在反复使用它。

一个具体的自查技巧：拿任意一个开环传递函数，比如 G(s) = K / [s(s+1)(s+2)]，要求自己在 15 分钟内完成：画出零极点图、标出实轴上的根轨迹分段、算出分离点、确定渐近线、画出完整根轨迹草图，并标出系统临界稳定时的 K 值。这一套动作能一次检验开环闭环、传递函数、稳定性、根轨迹四个模块的知识。如果中途卡住，卡住的位置就是你最需要补的短板。

我自己当初复习时最大的教训，是抱着"看一眼就会了"的心态直接做题，结果在终值定理前提和分离点验证这两个地方连续翻车，返工了两遍才把概念理顺。从那以后，我每次复习控制理论都会强制走一遍上面的流程：先默写传递函数结构，再画极点位置，再套终值公式，最后画根轨迹——每一步都动手，不凭感觉。这套 13 期的笔记就是这么一点一点啃下来的，希望帮到你。

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