简介：东北大学理学院数学系数值分析课程实验报告，以解线性方程组的迭代法与迭代格式比较为主线，系统介绍了Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法与SOR松弛迭代法。报告严格按学校规范撰写，包含实验目的、原理、内容、数据记录和处理、结果分析等完整环节，方便高校学生对照学习或完善课程实验报告。压缩包仅含1个doc文档，大小186KB，结构紧凑。文中给出了三种算法的MATLAB实现，从矩阵分解、迭代公式到误差阈值控制均有对应代码，并记录了不同初始向量与松弛因子ω下的迭代次数和收敛误差，例如ω从1.10到1.90时，迭代次数由11次增至11828次，能直观展示松弛参数对收敛速度的影响。已有2614人学习下载，可作为理解迭代法原理、查看算法实现细节及撰写实验报告的重要参考。

1. 一份让你少熬夜的数值分析实验报告：三种迭代法从原理到 MATLAB 代码全拆解

如果你正在数值分析课上被“解线性方程组的迭代法”折腾，大概率经历过这样的场景：讲义上的公式一看就会，自己写 MATLAB 一跑就死循环，或者迭代次数忽大忽小，根本不知道问题出在哪。这份实验报告正好是解药——它把 Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和 SOR 松弛迭代法从原理、代码到实验数据完整整理了一遍，连不同松弛因子下迭代次数从 11 次到 11828 次的对比都给你算好了。适合三类人：正在做类似课程实验、需要复现数据写报告的同学；准备面试或考研复试、想快速理解迭代法实现细节的人；以及在实际工程里需要手写迭代求解器、想找个靠谱参考的开发者。这份资源不只是一堆代码，更是一份能直接跑通、能照着改的完整实验样本。

2. 实验设计解析：线性方程组迭代法的收敛条件与矩阵分裂

2.1 迭代法为什么可以解线性方程组

直接法用高斯消元或 LU 分解，一次性求出精确解；迭代法则把一个Ax = b的问题改写成固定点形式x = Bx + f，然后从一个初始向量出发，反复计算x_{k+1} = Bx_k + f，直到前后两步的差足够小。这里最关键的是收敛条件：迭代矩阵B的谱半径必须小于 1，也就是所有特征值的模都小于 1。如果谱半径大于等于 1，迭代就会发散或者原地打转，这也是很多同学实验报告里出现“死循环”的根本原因。

这份实验报告选用的测试矩阵是三阶的：

A = [4, -1, 1; 4, -8, 1; -2, 1, 5]; b = [7; -21; 15];

它不是严格对角占优矩阵（第二行对角线是 -8，但该行其他元素的绝对值之和是 5，满足对角占优；第一行对角线 4 比 2 大，第三行 5 比 3 大，实际上整体是严格对角占优的），所以 Jacobi 和 Gauss-Seidel 都收敛。实验报告特意选了这样一个行列式不为零、迭代性质又不太极端的例子，非常合适初学者观察不同方法的收敛速度差异。

2.2 矩阵分解：D、L、U 在 MATLAB 里怎么取

迭代法把矩阵A拆成三部分：对角部分D、严格下三角部分L和严格上三角部分U。注意这里L和U的方向取决于你自己的定义，报告里的定义是：

D = diag(diag(A)); % 对角矩阵 L = -tril(A, -1); % 下三角矩阵（取负） U = -triu(A, 1); % 上三角矩阵（取负）

为什么取负？因为后续迭代公式里需要的是A = D - L - U。tril(A, -1)返回 A 中主对角线以下的部分，但不含主对角线；triu(A, 1)返回主对角线以上的部分。如果你直接用tril(A, -1)得到的是一个“带正号的下三角”，那么A = D + L + U就会写错正负号。这个细节是很多实现翻车的起点，后面避坑章节还会再提到。

以这个测试矩阵为例，D是对角线[4, -8, 5]，L是[0,0,0; -4,0,0; 2,-1,0]的相反数，U是[0,1,-1; 0,0,-1; 0,0,0]的相反数。写出迭代公式后就明白为什么 MATLAB 代码里到处是inv(D)、inv(D-L)。

2.3 三种迭代格式的矩阵表达与收敛性

Jacobi 迭代公式的核心是“用旧值计算新值”：

X_1 = inv(D) * (L + U) * X_0 + inv(D) * b;

把A = D - L - U代入Ax = b，得到Dx = (L+U)x + b，所以迭代矩阵是inv(D)*(L+U)。每次迭代都基于上一轮的整个向量X_0，所以各个分量可以并行计算。

Gauss-Seidel 迭代的关键是“用最新值计算下一个分量”：

X_1 = inv(D - L) * U * X_0 + inv(D - L) * b;

这里把下三角部分并入左侧求逆，等价于在计算第 i 个分量时，已经使用本轮更新过的前 i-1 个分量。Gauss-Seidel 通常比 Jacobi 收敛快，实验数据也印证了：初始向量为零时，Jacobi 需要 14 次，Gauss-Seidel 只要 9 次。

SOR 是 Gauss-Seidel 的加速版，公式里多了一个松弛因子ω，代码是：

k = 1.75; % 松弛因子 omega X_1 = inv(D - k*L) * ((1-k)*D + k*U) * X_0 + k * inv(D - k*L) * b;

当ω=1时 SOR 退化成 Gauss-Seidel；ω>1叫超松弛，通常用于加速收敛；ω<1叫低松弛，有时用于改善稳定性。理论要求0 < ω < 2，超出这个区间大概率发散。

2.4 SOR 松弛因子的“玄学”：取值不同，迭代次数从 11 次变成 11828 次

实验报告里最有意思的部分是 SOR 松弛因子扫描。初始向量为零向量时：

这个数据我第一次看到时也吓了一跳。1.9 和 2.0 只差 0.1，迭代次数却从一百多次暴涨到上万次。原因在于 SOR 的最优松弛因子和系数矩阵的特征值分布强相关，当ω接近上界 2 时，迭代矩阵的谱半径会无限接近 1，收敛速度变得极慢。这不是代码 bug，而是数值方法本身的特性。这也是为什么实验报告的数据比单纯跑一次代码有价值——它帮你提前划出了“危险区间”。

3. 核心代码拆解：一个迭代循环从初始化到误差收敛的完整链路

3.1 原始代码逐行解读：矩阵、初值、迭代步

报告的 Jacobi 部分虽然不长，但每一行都值得细看：

A = [4,-1,1; 4,-8,1; -2,1,5]; b = [7;-21;15]; D = diag(diag(A)); % 对角矩阵 L = -tril(A,-1); % 下三角矩阵（取负） U = -triu(A,1); % 上三角矩阵（取负） X_0 = [0;0;0]; % 初始向量 X_1 = inv(D) * (L + U) * X_0 + inv(D) * b; % 初次迭代 dis = abs(X_1 - X_0); % 绝对误差向量 p = 1; for i = 1:3 while(dis(i) >= 10^(-5)) X_1 = inv(D) * (L + U) * X_0 + inv(D) * b; dis = abs(X_1 - X_0); X_0 = X_1; p = p + 1; end end

这里p是迭代次数计数器。初始迭代执行了一次，所以p从 1 开始。for i = 1:3加while的组合很有意思，它并不是一次性判断所有分量是否满足误差，而是分别检查每个分量。我们稍后会说这种写法的隐患，但先理解执行流程：当第 1 个分量误差大于阈值时，不断迭代直到它小于阈值；然后跳出 while，进入 i=2，再让第 2 个分量满足；最后 i=3。因为每轮迭代都会更新整个向量，所以这个流程实际上会让所有分量最终都满足，但可能比统一的范数判断多算一些迭代。

3.2 误差判断的写法：按分量判断和按范数判断的差别

实验报告里的误差判断是while(dis(i) >= 10^(-5))，只观察某个分量的绝对误差。常见做法是计算整个向量的无穷范数或 2 范数：

while max(abs(X_1 - X_0)) >= 1e-5 X_1 = inv(D) * (L + U) * X_0 + inv(D) * b; dis = abs(X_1 - X_0); X_0 = X_1; p = p + 1; end

两种写法在大多数情况下结果一致，但按分量判断存在一个潜在问题：如果某个分量在迭代中波动（比如先收敛又变坏），外层 for 循环已经越过了它，就不会再检查，可能最终这个分量的误差其实略超阈值。对这个三阶测试矩阵而言不会出问题，但换成更复杂的矩阵时就可能“表面收敛、实际没收敛”。所以我通常建议改用max(abs(...))或norm(...)作为退出条件。

3.3 实验数据：三种方法在不同初始向量下的迭代次数

这份实验报告记录了三组初始向量的结果，这部分数据可以直接用到你自己的报告里：

初始向量[0;0;0]：

• Jacobi 14 次
• Gauss-Seidel 9 次
• SOR：ω=1.10 时 11 次，ω=1.50 时 21 次，ω=1.75 时 80 次

初始向量[1;1;1]：

• Jacobi 13 次
• Gauss-Seidel 9 次
• SOR：ω=1.25 时 14 次，ω=1.50 时 20 次，ω=1.75 时 79 次

初始向量[-1;-1;-1]：

• Jacobi 14 次
• Gauss-Seidel 9 次
• SOR：ω=1.25 时 15 次，ω=1.50 时 21 次，ω=1.75 时 87 次

可以看出，Gauss-Seidel 对初始向量不敏感，始终 9 次收敛；Jacobi 基本稳定在 13~14 次；SOR 则对 ω 和初值都很敏感。这个数据告诉我们一个实际经验：如果你的问题是线性的，Gauss-Seidel 是性价比很高的选择，SOR 的加速效果需要谨慎调参，调不好反而更慢。

3.4 一个隐藏问题：inv 求逆的效率与数值稳定性

报告代码里反复出现inv(D)、inv(D-L)、inv(D-k*L)。在小规模（三阶矩阵）下毫无问题，但如果你把这个代码改造成大规模稀疏矩阵求解器，inv会先把矩阵变成稠密矩阵，内存和计算量瞬间爆炸。更稳的做法是改用左除运算符：

X_1 = (D - L) \ (U * X_0) + (D - L) \ b;

\对稀疏矩阵会走 LU 分解或迭代求解，数值稳定性也更好。这是从“能跑”到“能用在工程里”的关键一步，二次开发章节会继续展开。

4. 运行与复现：在 MATLAB 里把三种解法跑通并画出收敛曲线

4.1 环境准备：MATLAB 或 Octave，脚本文件怎么建

最简单的方式是打开 MATLAB，新建一个脚本，命名为iterative_demo.m，把三种方法的代码分三段贴进去，然后点运行。如果没有 MATLAB 授权，用 GNU Octave 也能跑通，两者语法在这份报告里几乎完全兼容。需要注意的一点是：文件名不要用中文，也不要和内置函数重名，比如别叫sum.m或plot.m。

复制代码时最容易踩的坑是：MATLAB 的矩阵换行用分号，但如果你从网页复制，可能把全角分号或空格粘进去。建议先检查矩阵行的分隔符是不是半角的;或换行。

4.2 跑通 Jacobi 与 Gauss-Seidel：注意看迭代次数 p 的累加逻辑

运行 Jacobi 部分后，命令窗口不会直接显示迭代次数，需要自己加一行输出：

disp(['Jacobi 迭代次数: ', num2str(p)]);

我在复现时习惯把p的初值改成 0，然后让循环里的p = p + 1统一计数。因为原报告在 while 之前已经做了一次迭代，p初始为 1，这样最终得到的数字才和实验数据对得上。Gauss-Seidel 部分的思路完全相同，只是迭代矩阵变成了inv(D-L)*U。跑完你应该看到p=14和p=9。

4.3 批量测试不同松弛因子：用 for 循环复现 SOR 实验数据

实验报告里的 ω 扫描是手写一个个改的，但复现时更推荐用循环。下面这段代码可以直接复现表里的数据：

A = [4,-1,1; 4,-8,1; -2,1,5]; b = [7;-21;15]; D = diag(diag(A)); L = -tril(A,-1); U = -triu(A,1); omegas = [1.10,1.20,1.30,1.40,1.50,1.60,1.70,1.80,1.90]; for k = omegas X_0 = [0;0;0]; X_1 = inv(D - k*L) * ((1-k)*D + k*U) * X_0 + k * inv(D - k*L) * b; dis = abs(X_1 - X_0); p = 1; while(dis(1) >= 1e-5 || dis(2) >= 1e-5 || dis(3) >= 1e-5) X_1 = inv(D - k*L) * ((1-k)*D + k*U) * X_0 + k * inv(D - k*L) * b; dis = abs(X_1 - X_0); X_0 = X_1; p = p + 1; end fprintf('omega=%.2f, 迭代次数=%d\n', k, p); end

注意这里我把 while 条件改成“任一分量不满足就继续”，避免原始代码里for + while结构可能带来的漏检问题。输出结果会和实验报告基本一致：ω=1.10 时 11 次，ω=1.90 时 11828 次。跑最后一条时要有耐心，可能等几秒。

4.4 修改初始向量和误差阈值：观察收敛速度的变化

把初始向量改成[1;1;1]，只需要改X_0那一行。改成[-1;-1;-1]同理。误差阈值10^(-5)也可以改成10^(-8)，你会看到迭代次数普遍增加。如果改得太小，比如10^(-15)，三阶矩阵用 double 浮点数就可能无法达到，循环会进入无限震荡。这个现象可以当作实验报告里的“延伸思考”来写。

如果想要更直观，可以加一个误差记录数组，把每次迭代的max(abs(X_1-X_0))存下来，最后用semilogy画收敛曲线。这个技巧放到第六章。

5. 避坑指南：迭代法实验里最容易翻车的 5 个细节

5.1 现象：while 循环直接卡死，跑几分钟都不停

原因：迭代矩阵谱半径大于等于 1，或者误差阈值设成了不可达的数。最常见的是代码里L和U的正负号写反，导致迭代矩阵根本不是预期那个。解决：先打印D、L、U看符号；再计算迭代矩阵的特征值，比如max(abs(eig(inv(D)*(L+U))))，如果谱半径大于等于 1，就不要再跑了。这是我做迭代法实验最深的血泪教训——不查谱半径就盲目跑循环，等于让电脑陪你死等。

5.2 现象：Gauss-Seidel 结果和 Jacobi 几乎一样

原因：矩阵分解时没有取负，导致D-L和D+tril(A,-1)混用。很多同学抄代码时把L = -tril(A,-1)写成L = tril(A,-1)，那么D-L实际上变成了D + 下三角，根本不符合推导。解决：统一用A = D - L - U的约定，打印A - (D - L - U)看是否为零矩阵。这个检查成本极低，能避免一整晚的困惑。

5.3 现象：命令窗口报错“Matrix must be square”或“奇异矩阵”

原因：inv(D-k*L)在某个松弛因子下矩阵不可逆。理论上只要 A 非奇异，D-kL通常也可逆，但如果你把 ω 设成负数或大于 2，这个矩阵可能变得病态。解决：在循环里用 try-catch 捕获奇异矩阵错误，或者改用左除\，左除对近奇异矩阵会给出警告但至少能返回一个结果。另外检查一下是不是把矩阵的一行数据输错了，比如[4,-1,1;4,-8,1;-2,1,5]中间的分号是否被替换成了逗号。

5.4 现象：松弛因子 1.9 时迭代次数跳到 11828 次，这是 bug 吗

不是 bug，是 SOR 方法的固有现象。当 ω 接近上界 2 时，迭代矩阵谱半径趋近 1，收敛速度趋近于零。遇到这种情况不要慌张，把它写进实验分析里反而是加分项。解决：如果你想看到完整的收敛过程，可以把误差阈值放大到10^(-3)，迭代次数会显著减少，也能观察到误差缓慢下降的曲线。如果只是验证代码正确性，建议只测到 1.8。

5.5 现象：用 Octave 运行结果和 MATLAB 不一样

原因：Octave 的浮点数运算和 MATLAB 基本一致，但某些内置函数（如inv、eig）底层实现有细微差异，在接近收敛边界时可能表现出不同迭代次数。另外循环里的变量作用域和显示精度也可能不同。解决：关键结果不要直接用==比较，而是用abs(p1 - p2) <= 1容忍。如果迭代次数差很多，检查是不是用了不同的数据文件或没清空工作区。

6. 二次开发：把实验代码改造成通用的迭代法求解器

6.1 封装成函数：支持 method 参数和松弛因子

原报告的代码是平铺的，每换一个方法就要复制改一遍。更好的做法是封装成一个函数：

function [x, iter, err_history] = iterative_solve(A, b, method, omega, tol, x0) % method: 'jacobi', 'gs', 'sor' % omega: 仅 SOR 使用 % tol: 迭代终止阈值 % x0: 初始向量，默认零向量 D = diag(diag(A)); L = -tril(A, -1); U = -triu(A, 1); n = size(A, 1); x = x0; err_history = []; iter = 0; while true switch method case 'jacobi' x_new = D \ ((L + U) * x) + D \ b; case 'gs' x_new = (D - L) \ (U * x) + (D - L) \ b; case 'sor' x_new = (D - omega*L) \ (((1-omega)*D + omega*U) * x) ... + omega * ((D - omega*L) \ b); otherwise error('未知方法'); end err = max(abs(x_new - x)); err_history = [err_history; err]; x = x_new; iter = iter + 1; if err < tol || iter > 10000 break; end end end

这个函数把三种方法统一到了一套switch结构里，最大的好处是测试不同方法时不需要反复改代码。我把原来的 while 条件改成了while true，靠迭代上限和误差阈值双重退出，避免死循环。

6.2 增加误差记录与收敛曲线

在函数里我把每次迭代的误差存进err_history，这样调用后可以直接画收敛曲线：

[x, iter, his] = iterative_solve(A, b, 'sor', 1.1, 1e-5, [0;0;0]); semilogy(1:length(his), his, '-o'); xlabel('迭代次数'); ylabel('误差（对数坐标）');

用semilogy画误差下降曲线，能直观看到 SOR 在不同 ω 下收敛速度的差异。你会发现 ω=1.9 的曲线下降得非常平缓，这就是 11828 次的来源。

6.3 验证方法：用严格对角占优矩阵和谱半径判断

改造完之后，必须验证函数没有跑偏。我一般会做两步：第一步，构造一个严格对角占优矩阵，比如三对角矩阵，用直接法A\b的结果和迭代解对比；第二步，计算迭代矩阵的谱半径，确认小于 1。另外再跑一遍原始实验数据，确保 Jacobi 返回 14 次、Gauss-Seidel 返回 9 次。验证通过后再去调 ω，就心中有数了。

从那以后，我每次做迭代法实验都会先写一个iterative_solve这样的通用函数，再批量跑参数，而不是复制粘贴三次代码。这个习惯帮我少走了很多弯路，希望你也能直接用上。希望帮到你。

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