简介：《空气动力学基础》是北京航空航天大学北京市精品课程的配套PDF课件，面向航空航天、力学及相关专业的本科生、考研复习者与自学读者，帮助建立从流体属性到高速可压缩流动的系统知识框架。内容按绪论、流体基本属性与静力学、流体运动学与动力学、不可压缩无粘平面势流、粘性流体动力学、边界层理论及可压缩高速流动等模块展开，并穿插飞行器绕流、风洞实验、边界层分离等典型图例，便于对照课堂进度梳理概念、公式与工程应用。整包仅含1个PDF文件，大小约19.65MB，页面以课程讲义形式组织，目录层次清晰，适合按章检索和打印批注。目前已有686人学习下载，可作为课程预习、期末复盘和考研专业课复习的参考材料。
1. 六章骨架先摆出来：空气动力学不是“算升力”，而是逐层拆假设
很多人翻开一份空气动力学讲义，第一反应是直奔机翼升力那一页，结果卡在物质三态、连续介质、量纲单位这几页，后面的势流、边界层、激波全成了断点。这门课真正的骨架是一条“拆假设”的路线：先假设空气连续、无粘、不可压，得到一套干净的势流解；再把“无粘”拆掉，换来粘性方程和边界层；最后把“不可压”拆掉，换来马赫数、总温总压和激波。讲义里的六章就是这三刀切出来的——绪论给坐标系，第二三章建理想模型，第四章拆粘性，第五章处理边界层，第六章进高速。它适合三类人：正在上这门课要交作业和考试的、准备复试被追问基础概念的、做无人机或气动仿真需要补理论底子的。
2. 流体属性与静力学：从三态定义到欧拉平衡方程的复习重点
这一章看起来最“水”，实际上后面所有公式的合法性都建立在这里。三态定义决定了“流体为什么只能承受压力”，连续介质假设决定了 N-S 方程能不能写出来，量纲决定了你推导完的式子敢不敢用。
2.1 三态对比与流体的严格定义
讲义把固、液、气三态的区别落在两个维度上：有没有固定形状、有没有固定体积，以及静止状态下能承受哪种应力。这三条一列出来，后面“流体静止时只有法向压强”就是自然推论，而不是凭空规定。
| 物态 | 固定形状 | 固定体积 | 静止时承受拉力 | 静止时承受压力 | 静止时承受剪力 |
|---|---|---|---|---|---|
| 固体 | 有 | 有 | 能 | 能 | 能 |
| 液体 | 无 | 有 | 几乎不能 | 能 | 不能 |
| 气体 | 无 | 无 | 几乎不能 | 能 | 不能 |
流体是液体和气体的统称，核心特征只有一句：易流动性，静止状态下不能承受剪应力。这句话直接推出静力学的全部前提——既然静止时没有剪应力，那么作用在微元体上的表面力只有法向压强，压强就成了静力学里唯一的表面力变量。
提示：判断某类物质能不能当流体处理，看的不是“它像不像水”，而是“静止时能不能承受剪应力”。沥青、蜂蜜、熔融金属都算流体，只是粘度大。
讲义还特别强调了物质形态由分子热运动和分子间作用力共同决定。气体分子间距大、热运动占主导，所以既没有固定体积也没有固定形状；液体分子间作用力还够强，能锁住体积但锁不住形状。这段定性描述在考试里常以选择或简答出现，背结论不如记住“分子间距 + 热运动”这个因果链。
2.2 连续介质假设与流体的四个基本属性
连续介质假设是整门课的第一块地基：把由大量分子组成的空气，看成连续充满空间、物理量处处有定义的介质。它成立的条件是分子平均自由程远小于流动的特征尺度，工程上用克努森数衡量，Kn = λ/L，一般认为 Kn < 0.01 时连续介质假设成立。讲义没有展开这一条，但它是后面所有微分方程的前提，复习时值得单独记一笔。
在这块地基上，流体有四个反复出现的属性，每一个都对应后面一章的主线：
| 属性 | 定义式或度量 | 常温空气典型值 | 后续用在哪 |
|---|---|---|---|
| 密度 ρ | 单位体积质量 | 1.225 kg/m³（海平面标准大气） | 连续方程、伯努利、动量方程 |
| 可压缩性 | 体积模量 K = -V·dp/dV，或声速 a = √(dp/dρ) | a ≈ 340.3 m/s | 第六章可压缩流的分区依据 |
| 粘性 μ | 牛顿内摩擦定律 τ = μ·du/dy | 1.789×10⁻⁵ Pa·s | 第四章 N-S 方程、边界层 |
| 表面张力 σ | 气液界面单位长度上的力 | 空气与水的界面约 0.072 N/m | 主要是液体问题，气体通常忽略 |
可压缩性这一栏要特别注意：气体“容易被压缩”不等于“任何流动都必须按可压缩算”。判据是马赫数，Ma < 0.3 时密度相对变化小于 5%，按不可压处理误差可接受。这条界线是第三章和第六章的分水岭，也是很多计算题的隐含条件。
2.3 静压强的两个特性与欧拉平衡微分方程
静压强有两个必须背准的特性：第一，方向沿作用面的内法线，也就是垂直指向受压面；第二，同一点的压强大小与作用面方位无关，各个方向相等。第二条成立的前提正是“静止流体没有剪应力”，所以它不是数学结论，而是 2.1 节定义的直接后果。
把这两个特性和质量力一起作用在微元六面体上，就得到欧拉平衡微分方程：
dp = ρ(X dx + Y dy + Z dz)其中 X、Y、Z 是单位质量质量力在三个方向的分量。在重力场里只有 Z = -g，方程退化成 dp = -ρg dz，积分得到 p = p₀ + ρgh，这就是连通器、测压管、U 形管差压计全部题目的来源。
等压面是这一节的另一个高频考点：等压面上 dp = 0，所以质量力与等压面正交。重力场中等压面是水平面，这一条能秒杀一批“斜置容器里液面怎么画”的题。
压强还有三套口径必须分清：
- 绝对压强：以完全真空为零点，物理方程里用的都是它；
- 表压：绝对压强减去当地大气压，压力表读数；
- 真空度：当地大气压减去绝对压强，只在低于大气压时存在。
注意：伯努利方程、状态方程里代入的压强必须是同一套口径。表压和绝对压强混着代，量级上差 10⁵ Pa，结果会离谱到看不出来错在哪。
2.4 量纲与单位：MLT 和 FLT 两套体系别混用
量纲分析在讲义里只占一节，但它是检查推导的最省力工具。同一物理量可以挂在两套基本量纲体系下：MLT（质量、长度、时间）和 FLT（力、长度、时间），两者通过 F = MLT⁻² 互换。
| 物理量 | MLT 量纲 | FLT 量纲 | SI 单位 |
|---|---|---|---|
| 密度 ρ | ML⁻³ | FL⁻⁴T² | kg/m³ |
| 压强 p | ML⁻¹T⁻² | FL⁻² | Pa |
| 动力粘度 μ | ML⁻¹T⁻¹ | FL⁻²T | Pa·s |
| 运动粘度 ν | L²T⁻¹ | L²T⁻¹ | m²/s |
| 力 F | MLT⁻² | F | N |
复习时养成一个习惯：任何一条推出来的公式，先看两边量纲是否齐次。量纲不齐一定是抄漏了系数或者漏了一项，这比重新推一遍快得多。量纲分析的另一个用途是导出无量纲数，雷诺数、马赫数、欧拉数都是这么来的，第四章讲相似准则时会再遇到。
3. 运动学与无粘势流：三组方程撑起的“理想空气”主线
第三章是整门课最“漂亮”的一章，也是考试计算题最集中的一章。它建立在两个假设上——无粘、不可压——在假设之内，流动可以用一个标量函数描述，叠加原理随便用；一旦出了这个假设，就要回到第四章。
3.1 拉格朗日与欧拉：两种描述法怎么选
描述流体运动有两套语言。拉格朗日法跟踪每一个流体质点，记号是 (x₀, y₀, z₀, t)，关心“这个质点去哪儿了”；欧拉法盯住空间点，记号是 (x, y, z, t)，关心“这个位置上此刻的速度是多少”。空气动力学几乎全部用欧拉法，因为实验测量（风洞里的探针、仿真里的网格点）天然是欧拉视角。
配套的三个几何概念必须分清：
- 流线：同一时刻，线上每一点的切线方向就是该点速度方向；
- 迹线：同一个流体质点在一段时间内走过的轨迹；
- 脉线：连续流过同一空间点的流体质点连成的线。
定常流动时三者重合，非定常时一般不重合。考题里“定常”两个字就是提示，看到它就可以放心把流线当迹线用。
欧拉法带来的核心运算叫质点导数，也叫随体导数：
DV/Dt = ∂V/∂t + (V·∇)V右边第一项是当地加速度，固定空间点上速度随时间的变化；第二项是迁移加速度，质点从一个位置挪到另一个位置，因速度场空间不均匀而产生的变化。很多同学在算加速度时只写 ∂V/∂t，把迁移项漏掉，这是运动学部分最常见的失分点。
3.2 连续方程、动量方程与伯努利方程
三组方程里，连续方程管“质量守恒”，动量方程管“力与加速度”，伯努利方程是动量方程在特定条件下的积分。
连续方程的微分形式是 ∂ρ/∂t + ∇·(ρV) = 0，不可压条件下密度是常数，退化成 ∇·V = 0，也就是速度场无源无汇。定常管流的形式更常用：ρ₁V₁A₁ = ρ₂V₂A₂，不可压时简化为 V₁A₁ = V₂A₂。
动量方程在无粘条件下的形式就是欧拉方程，加上粘性项之后就是第四章的 N-S 方程。考试里更常出现的是它的积分形式：控制体上的合外力等于流出与流入的动量通量之差。
伯努利方程是沿流线积分欧拉方程的产物，形式是：
p + ½ρV² + ρgz = 常数它的四个前提必须一字不差地记住：定常、无粘、不可压、沿同一条流线。第四条最容易被忽略——两条不同流线上的常数一般不同，只有在无旋流场里常数才全场统一。这一点在第五章还会作为易错点单独展开。
伯努利最直接的工程应用是皮托管测速。把总压孔和静压孔测到的压差代进去，速度就是 V = √(2(p₀ - p)/ρ)。同样的思路反过来用，就是风洞实验里通过皮托管排测量速度场的方法。
3.3 平面势流：速度势、流函数与四种基本解
无粘不可压再加一条“无旋”，流场就变得极其规整。无旋意味着速度的旋度为零，于是存在一个标量函数 φ，使 V = ∇φ，这个 φ 叫速度势；不可压意味着 ∇·V = 0，代进去就得到拉普拉斯方程 ∇²φ = 0。不可压平面流动还另外存在一个流函数 ψ，等 ψ 线就是流线。
拉普拉斯方程是线性的，所以解可以叠加，这就是势流理论能玩出花来的原因。四种基本解搭起了所有复杂流动：
| 基本解 | 速度势 φ | 流函数 ψ | 速度场特征 |
|---|---|---|---|
| 均匀流 | Ux | Uy | 处处速度相同 |
| 源（汇） | (m/2π)·ln r | (m/2π)·θ | 径向辐射，强度 m |
| 点涡 | (Γ/2π)·θ | -(Γ/2π)·ln r | 周向旋转，环量 Γ |
| 偶极子 | (M/2π)·cosθ/r | -(M/2π)·sinθ/r | 源汇无限靠近的极限 |
实际流动靠叠加得到：均匀流加偶极子就是圆柱绕流，均匀流加偶极子再加点涡就是有环量的圆柱绕流，后者能算出升力，升力大小是 ρUΓ，这就是库塔-儒可夫斯基定理。这条定理是整章的高潮，也是后面解释机翼升力为什么和环量挂钩的起点。
下面这段代码把圆柱绕流的表面压力系数算出来，可以直观看到势流解的几个标志性数字：
import numpy as np # 无粘不可压圆柱绕流（半径 R=1），计算表面速度与压力系数 R = 1.0 U = 1.0 # 远前方来流速度，m/s rho = 1.225 # 海平面标准大气密度，kg/m^3 theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 9) # 从 0 到 360 度取 9 个点 Vt = -2 * U * np.sin(theta) # 势流解：圆柱表面切向速度 Vθ = -2U·sinθ Cp = 1 - (Vt / U) ** 2 # 伯努利：Cp = 1 - (V/U)^2 for t, v, c in zip(theta, Vt, Cp): print(f"theta={np.degrees(t):6.1f} deg V={v:+.2f} m/s Cp={c:+.2f}")这段代码只用了两个公式：圆柱表面切向速度 Vθ = -2U·sinθ，以及沿流线的伯努利关系 Cp = 1 - (V/U)²。运行结果里三个数字值得记牢：θ = 0°（前驻点）速度为零，Cp = 1；θ = 90°（顶部）速度达到 -2U，Cp = -3；θ = 180°（后驻点）速度又回到零，Cp = 1。前后驻点压力完全对称，这就是达朗贝尔佯谬——势流解算出来的圆柱阻力是零。真实圆柱当然有阻力，差值全部来自粘性和分离，这正是第四章存在的理由。
提示：如果结果里 Cp 的最小值不是 -3，先检查是不是把 Vθ 的系数 2 漏了，再检查 Cp 公式里有没有用错参考速度。
4. 粘性、边界层与可压缩流：把假设一层层拆掉的三个模块
前三章的全部结论都建立在“无粘、不可压”上。这一章做两件事：先把粘性放回来，看方程变成什么样、壁面附近怎么处理；再把可压缩性放回来，看马赫数一高哪些关系会变。
4.1 牛顿内摩擦定律与两类粘度
粘性的定量描述就是牛顿内摩擦定律：两层流体之间的剪应力与速度梯度成正比，τ = μ·du/dy，比例系数 μ 叫动力粘度，单位 Pa·s。满足这个线性关系的是牛顿流体，空气和水都算；血液、高分子溶液这类不满足的属于非牛顿流体。
工程计算里更常用的是运动粘度 ν = μ/ρ，单位 m²/s，因为它直接出现在雷诺数里。常温空气 μ ≈ 1.789×10⁻⁵ Pa·s，ν ≈ 1.46×10⁻⁵ m²/s。
温度对粘度的影响方向相反：气体温度升高，分子热运动加剧，动量交换增强，粘度上升；液体温度升高，分子间作用力减弱，粘度下降。这一条在判断“高空低温环境下粘度怎么变”时很有用。
4.2 N-S 方程、雷诺数与相似准则
把牛顿内摩擦定律代入动量方程，就得到纳维-斯托克斯方程，简称 N-S 方程。它的物理含义很直白：左边是单位体积流体的惯性力，右边依次是压力梯度力、粘性力和质量力。这门课不要求解 N-S 方程，但要求看得懂每一项代表什么、哪一项在什么条件下能扔。
扔项的判据是量级比较，而量级比较的核心参数是雷诺数：
Re = ρVL/μ = VL/νRe 的物理意义是惯性力与粘性力之比。Re 很小，粘性主导，流动规整、粘性影响遍布全场；Re 很大，惯性主导，粘性只在紧贴壁面的一薄层里起作用，其余区域可以按无粘处理。这条判断是边界层理论的全部出发点，也是风洞实验相似准则的第一条。
相似准则这一块要记的是一组无量纲数：Re（粘性相似）、Ma（可压缩相似）、Pr（传热相似）、St（非定常相似）。做缩比模型实验时，如果所有相关无量纲数都与实物相同，流动就相似；但实际做不到全部相同，只能抓住主要矛盾做部分相似，这也是风洞数据外推的误差来源。
4.3 边界层理论：三个厚度与分离判据
普朗特的做法是把流场分成两块：远离壁面按无粘势流算，紧贴壁面划出一层薄薄的粘性区，叫边界层。边界层厚度 δ 随距前缘距离 x 的增长满足 δ/L 量级为 1/√Re，Re 越大边界层越薄，所以高雷诺数下把粘性限制在薄层里处理是合理的。
对边界层方程做量级比较会得到两个关键结论。第一，法向动量方程里压力沿壁面法向不变，即 ∂p/∂y = 0，边界层内的压力由外部势流“压”进来，壁面压力等于同位置外流的势流压力。第二，流向动量方程里粘性项保留、其余项简化，形成抛物线型的边界层方程。第二条结论决定了边界层要从前往后积分，不能反过来算。
三个厚度必须分清：
| 厚度 | 定义 | 物理意义 | 工程用途 |
|---|---|---|---|
| 边界层厚度 δ | u/U = 0.99 处到壁面的距离 | 粘性影响的粗略范围 | 划分粘性与无粘区 |
| 位移厚度 δ* | ∫(1 - u/U)dy | 因速度亏损导致流线向外偏移的量 | 修正有效外形，≈ 0.3δ 量级 |
| 动量厚度 θ | ∫(u/U)(1 - u/U)dy | 动量通量的亏损量 | 计算摩擦阻力、判断分离 |
形状因子 H = δ*/θ 用来判断边界层状态，层流大约 2.6，湍流大约 1.4，中途减小说明转捩发生。平板边界层的转捩雷诺数常取 Re_x ≈ 5×10⁵。
边界层分离的判据要记两条：外部流动出现逆压梯度，即 dp/dx > 0；壁面剪应力降到零，即 ∂u/∂y|_{y=0} = 0。两条同时满足的位置就是分离点，分离点之后流体不再贴壁，形成回流区。机翼失速、汽车尾流、扩压器效率下降，本质上都是分离在不同场景下的表现。这一块用“玄学”形容不算夸张，因为分离点位置对雷诺数、壁面粗糙度、来流湍流度都敏感，实验里经常对不上。
注意：分离的判据是逆压梯度加上壁面剪应力为零，只看压力升高不看剪应力，或者只看剪应力不看压力梯度，都会把分离点判错位置。
4.4 可压缩流：声速、马赫数与总参数
把“不可压”这条假设拆掉，最先要补的就是声速和马赫数。声速是微小扰动在介质中的传播速度，对完全气体有 a = √(γRT)，其中 γ 是比热比（空气取 1.4），R 是气体常数（空气约 287 J/(kg·K)）。马赫数是速度与当地声速之比，Ma = V/a，注意分母是当地声速，不是来流声速。
马赫数分区是考试里的送分题，也是判断题的高发区：
| 马赫数范围 | 流动类型 | 主要特征 |
|---|---|---|
| Ma < 0.3 | 不可压流 | 密度变化小于 5%，可按不可压处理 |
| 0.3 ~ 0.8 | 亚声速流 | 密度变化明显，但全场无激波 |
| 0.8 ~ 1.2 | 跨声速流 | 局部先出现激波，阻力急剧上升 |
| 1.2 ~ 5 | 超声速流 | 出现明显的激波与膨胀波系 |
| Ma > 5 | 高超声速流 | 气动加热、真实气体效应不可忽略 |
等熵流动的总静参数关系是这一节的骨架：
T₀/T = 1 + (γ-1)/2 · Ma² p₀/p = (T₀/T)^(γ/(γ-1)) ρ₀/ρ = (T₀/T)^(1/(γ-1))总温 T₀ 是气流绝热滞止到速度为零时达到的温度，总压 p₀ 是等熵滞止时达到的压强。下面这段代码把常用马赫数下的总静比算出来，方便对照记忆：
# 等熵流总静参数比：输入马赫数与比热比，输出 T0/T、p0/p、rho0/rho gamma = 1.4 def isentropic_ratios(Ma, gamma=1.4): T0_T = 1 + 0.5 * (gamma - 1) * Ma ** 2 # 总温比 p0_p = T0_T ** (gamma / (gamma - 1)) # 总压比 rho0_rho = T0_T ** (1 / (gamma - 1)) # 总密度比 return T0_T, p0_p, rho0_rho for Ma in (0.3, 0.8, 1.0, 2.0, 5.0): t, p, r = isentropic_ratios(Ma) print(f"Ma={Ma:4.1f} T0/T={t:6.3f} p0/p={p:7.3f} rho0/rho={r:7.3f}")结果里几个数值得背下来：Ma = 0.3 时 p₀/p ≈ 1.064，密度变化只有约 6%，这就是 0.3 这条不可压界线的来源；Ma = 1 时 T₀/T = 1.2，p₀/p ≈ 1.893，密度比约 1.577；Ma = 2 时 p₀/p ≈ 7.82。把这些比值记住，做题时可以先估数量级再动笔。
临界状态是等熵关系里的特殊点，指当地马赫数刚好等于 1 的状态，用星号表示。对 γ = 1.4 的空气，临界参数与总参数之比是固定值：T*/T₀ ≈ 0.833，p*/p₀ ≈ 0.528，ρ*/ρ₀ ≈ 0.634。这三个数在喷管计算里反复出现，属于必须条件反射的程度。
最后是激波。正激波是最简单的一种，气流穿过它速度从超声速降到亚声速，压强、温度、密度、熵全部上升，总压下降，但总温不变。总压下降这一点是判断激波存在与否的硬指标，也是第五章要展开的易错点。膨胀波则相反，气流经过后速度增加、压强温度下降。超声速气流绕凸角是膨胀波，绕凹角是斜激波，这两条规则能解释大部分超声速流动图画。
5. 易漏点与易错点：五个最常在考场上翻车的细节
从第二章到第四章的内容连起来看，真正的难点不在于公式多，而在于“每个公式都有前提，前提经常被默默省略”。下面五条是梳理下来最容易漏、也最容易在判卷时被扣分的地方。
5.1 连续介质假设有适用边界
易漏点：把空气当成连续介质当成天经地义，不去问它在什么条件下成立。
为什么漏：讲义在绪论里只给了一句定义，后面所有方程都默认成立，学生自然把它当成公理而不是假设。
怎么补：记住克努森数 Kn = λ/L 这个判据，Kn < 0.01 才适用连续介质。高空、真空、微通道这几类场景要主动检查 Kn，一旦超限，N-S 方程和伯努利方程都不再成立，得换稀薄气体动力学的处理方式。
5.2 伯努利方程的四个前提被默默省略
易漏点：只要看到“p + ½ρV²”就当伯努利用，不管流动是不是定常、有没有粘性、是不是同一条流线。
为什么漏：伯努利的形式太简洁，做题时容易形成条件反射，看到压强和速度就往里代。
怎么补：每次动笔前在草稿纸角落写四个词——定常、无粘、不可压、同一条流线。四条里缺一条就不能直接用。特别是第四条：有旋流场里不同流线的常数不同，跨流线比较必须补上环量或者重新积分。
5.3 激波前后总温总压的“一变一不变”
易漏点：认为激波前后的总压和总温都守恒，或者都损失。
为什么漏：等熵流里总压总温都守恒，激波本身是绝热过程，容易把“绝热”和“等熵”混为一谈。
怎么补：抓住“绝热但不等熵”这个关键。正激波是绝热过程，没有热交换，所以总温不变；但过程有熵增，所以总压必然下降。做题时先判总压，总压降了就是激波，没降就是等熵压缩。
5.4 位移厚度不是“速度为零的那一层”
易漏点：把位移厚度理解成边界层里速度为零的贴壁薄层厚度，或者干脆当成边界层厚度的一部分。
为什么漏：名字里带“厚度”，直觉上以为是某种几何尺寸。
怎么补：位移厚度的定义是 ∫(1 - u/U)dy，本质是速度亏损沿法向的积分，代表外部无粘流动被“推出去”的距离，物理上相当于给物体加厚了一层。它和边界层厚度的关系是 δ* ≈ 0.3δ 量级，不是同一个东西。
5.5 相似准则里的特征长度取哪个
易漏点：算雷诺数时随便取一个长度，算完发现和别人对不上。
为什么漏：雷诺数公式 Re = VL/ν 里 L 没有规定取什么，教材里不同例子取的东西不一样。
怎么补：特征长度必须跟研究对象匹配。平板边界层取距前缘距离 x，机翼取弦长 c，圆管取直径 d，管道取水力直径。特征速度同样有讲究，外流取来流速度，内流取截面平均速度。写答案时把 L 和 V 的取法写明，比结果本身更能说明你懂。
6. 复习清单：按“能不能自己复述”来查漏补缺
看完整本讲义之后，检验标准不是“看懂了”，而是“合上书能不能把这条线讲出来”。下面这张表按章节把必须能回答的问题列出来，每一行都可以当作一次自测。
| 章节 | 必须能回答的问题 | 关联公式 |
|---|---|---|
| 绪论 | 连续介质假设成立的条件是什么？相对飞行原理为什么成立？ | Kn = λ/L |
| 流体属性 | 流体静止时为什么不能承受剪应力？可压缩性用什么衡量？ | τ = μ·du/dy |
| 静力学 | 静压强的两个特性怎么来的？表压和绝对压强差在哪？ | p = p₀ + ρgh |
| 运动学 | 当地加速度和迁移加速度分别由什么引起？ | DV/Dt = ∂V/∂t + (V·∇)V |
| 伯努利 | 方程成立需要哪四个条件？常数在什么情况下全场统一？ | p + ½ρV² + ρgz = C |
| 势流 | 速度势和流函数存在的条件分别是什么？四种基本解怎么叠加出圆柱绕流？ | ∇²φ = 0，L = ρUΓ |
| 粘性 | 雷诺数的物理意义是什么？大 Re 和小 Re 的流场差别在哪？ | Re = ρVL/μ |
| 边界层 | 位移厚度和动量厚度的物理意义分别是什么？分离的两个判据？ | δ*、θ、H = δ*/θ |
| 可压缩 | Ma = 0.3 这条不可压界线从哪来？临界参数是多少？ | T*/T₀ ≈ 0.833，p*/p₀ ≈ 0.528 |
具体怎么用这张表：遮住右列，只看中间的“必须能回答的问题”，每一条先不用公式、用一段话说清楚，说不出来再翻左列对应的章节。凡是要么说不清、要么说到一半要翻书的，标记成重点，第二天再看一遍。这种“先复述再回看”的方式比自己骗自己地重读一遍强得多。
还有三个快速自检的动作值得养成。第一，看到任何一个公式，先问它的前提条件，把条件写在公式旁边；第二，量纲检查，两边量纲不齐一定有问题；第三，把结果代回极端情况验证，比如 Ma 取 0 时等熵关系应该退化为 1，圆柱绕流的前后驻点应该对称。
我自己最开始学的时候，总觉得第四章的边界层和第六章的可压缩是两块孤立的难点，背公式背得挺熟，一做题就发现不知道该用哪一套。后来才发现，问题出在第二章的假设没吃透——每个公式都是一个“在这个假设下”的结论，假设一变结论就废。从那以后，我每次做题前都强制走一遍“这条流是定常吗、无粘吗、不可压吗、同一条流线吗”的清单，四问过了再动笔，错题率降得很明显。这份讲义的体系性正好适合这么用，把六章当成一条拆假设的链条来复习，比零散地背公式省力得多。希望帮到你。
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