激活扩散模型课件

沿用《热传导模型-课件》中的表 2-3 数据。

1. 模型思想

激活扩散模型是一种直观的图扩散算法。

• 把用户—项目反馈数据表示成二部图；
• 从目标用户节点出发，沿着边逐层扩散；
• 记录首次到达每个未交互项目所需的步数和到达次数；
• 步数越短、到达次数越多的项目，推荐优先级越高。

在二部图中，从用户出发到达项目的路径长度只能是奇数（3 步、5 步、7 步……）。

2. 推荐流程

1. 设定最大扩散步长；
2. 从目标用户节点出发，沿边扩散；
3. 去掉目标用户已交互过的项目，得到候选项目集；
4. 按“首次到达步数 → 到达次数”排序生成推荐列表。

3. 案例数据

表 2-3：用户购买记录

对应二部图：

• 用户 A 与项目 b、d 相连；
• 用户 B 与项目 a、b、c 相连；
• 用户 C 与项目 a、b、d 相连；
• 用户 D 与项目 a、e 相连。

目标用户：A。

4. 手动演算

4.1 最大步长为 3

从用户 A 出发：

• 第 1 步：到达项目b、d（A 已购买的项目）；
• 第 2 步：从 b、d 到达用户A、B、C；
• 第 3 步：从 A、B、C 到达项目a、b、c、d。

去掉 A 已购买的 b、d，候选项目集为：{a, c}。

统计从 A 出发、长度为 3 的路径数：

因此，3 步扩散推荐顺序为：a > c。

4.2 最大步长为 5

继续扩散：

• 第 4 步：从 a、c 回到用户节点；
• 第 5 步：从用户节点到达更多项目，包括e。

此时，用户 A 的候选项目扩展为：{a, c, e}。

步数越长，能到达的冷门项目越多，缓解了传统协同过滤“推荐范围受限”的问题。

5. 矩阵表示

设用户-项目反馈矩阵为R（行为用户，列为项目），则扩散步长为2k+1时的用户画像为：

S(2k+1)=R(RTR)kS^{(2k+1)} = R(R^T R)^kS(2k+1)=R(RTR)k

5.1 3 步扩散结果

S(3)=RRTR=(35140663316725142112)S^{(3)} = RR^TR = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 & 4 & 0 \\ 6 & 6 & 3 & 3 & 1 \\ 6 & 7 & 2 & 5 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}S(3)=RRTR=​3664​5672​1321​4351​0112​​

用户 A 的画像为第 1 行：

SA(3)=(3,5,1,4,0)S^{(3)}_A = (3, 5, 1, 4, 0)SA(3)​=(3,5,1,4,0)

含义：

• a=3，b=5，c=1，d=4，e=0
• 去掉已购买的 b、d，候选排序为a > c

5.2 5 步扩散结果

S(5)=R(RTR)2=(2430921337391524740451530720177106)S^{(5)} = R(R^TR)^2 = \begin{pmatrix} 24 & 30 & 9 & 21 & 3 \\ 37 & 39 & 15 & 24 & 7 \\ 40 & 45 & 15 & 30 & 7 \\ 20 & 17 & 7 & 10 & 6 \end{pmatrix}S(5)=R(RTR)2=​24374020​30394517​915157​21243010​3776​​

用户 A 的画像为第 1 行：

SA(5)=(24,30,9,21,3)S^{(5)}_A = (24, 30, 9, 21, 3)SA(5)​=(24,30,9,21,3)

去掉已购买的 b、d，候选排序为a > c > e。

6. 推荐结果汇总

步长为 3 时只能到达与 A 有共同用户的项目；步长为 5 时，e 也能被推荐。

7. Python 实现

importnumpyasnp# 用户-项目反馈矩阵R=np.array([[0,1,0,1,0],# A: b, d[1,1,1,0,0],# B: a, b, c[1,1,0,1,0],# C: a, b, d[1,0,0,0,1],# D: a, e],dtype=float)items=['a','b','c','d','e']users=['A','B','C','D']# 激活扩散：S^(2k+1) = R (R^T R)^kdefactivation_diffusion(R,k):"""计算 2k+1 步扩散后的用户画像矩阵"""RTR=R.T @ R M=np.eye(RTR.shape[0])for_inrange(k):M=M @ RTRreturnR @ Mprint("3 步扩散结果 S^(3)：")S3=activation_diffusion(R,1)print(S3.astype(int))print("\n5 步扩散结果 S^(5)：")S5=activation_diffusion(R,2)print(S5.astype(int))# 为用户 A 生成推荐target_user=0# Apurchased={1,3}# b, ddefrecommend(S,user_idx,purchased):scores=S[user_idx]candidates=[(items[j],score)forj,scoreinenumerate(scores)ifjnotinpurchased]candidates.sort(key=lambdax:x[1],reverse=True)returncandidatesprint("\n用户 A 在 3 步扩散后的推荐：",[c[0]forcinrecommend(S3,target_user,purchased)])print("用户 A 在 5 步扩散后的推荐：",[c[0]forcinrecommend(S5,target_user,purchased)])

运行结果

3 步扩散结果 S^(3)： [[3 5 1 4 0] [6 6 3 3 1] [6 7 2 5 1] [4 2 1 1 2]] 5 步扩散结果 S^(5)： [[24 30 9 21 3] [37 39 15 24 7] [40 45 15 30 7] [20 17 7 10 6]] 用户 A 在 3 步扩散后的推荐： ['a', 'c'] 用户 A 在 5 步扩散后的推荐： ['a', 'c', 'e']

8. 小结

• 激活扩散模型通过“步长”控制推荐范围。
• 步长越大，推荐范围越广，能覆盖到与目标用户没有直接共同行为的冷门项目。
• 计算本质上是二部图上的路径计数，可用R(R^T R)^k高效实现。
• 缺点：假设每条边影响相同，容易受活跃用户或热门项目偏置影响，因此后续发展出带权重的物质扩散和热传导模型。