中心为III的非等腰三角形△ABC\triangle ABC△ABC的内切圆在DDD处与边BCBCBC相切. 设XXX是从三角形ABCABCABC的外接圆开始的弧BCBCBC上的一个点, 这样, 如果EEE,FFF与BIBIBI,CICICI上的XXX垂直, 并且MMM是EFEFEF的中点, 则MBMCMBMCMBMC. 证明∠BAD∠CAX\angle{BAD}\angle{CAX}∠BAD∠CAX. (2014年伊朗国家队选拔赛第18题)证明:只需证明d(E′,B)d(F′d(E, B)d(Fd(E′,B)d(F′,C)C)C),E′EE′,F′FF′分别为EEE,FFF在BCBCBC边上的投影.即BXcos∠EBXcos∠IBCCXcos∠FCXcos∠ICBBX \cos \angle EBX \cos\angle IBCCX \cos \angle FCX \cos \angle ICBBXcos∠EBXcos∠IBCCXcos∠FCXcos∠ICB.即sin∠XCBcos∠EBXcos∠IBCsin∠XBCcos∠FCXcos∠ICB\sin \angle XCB \cos \angle EBX \cos\angle IBC\sin \angle XBC \cos \angle FCX \cos \angle ICBsin∠XCBcos∠EBXcos∠IBCsin∠XBCcos∠FCXcos∠ICB.即cos(B/2)/cos(C/2)sin∠XBC/sin∠XCB⋅cos∠FCX/cos∠EBX\cos (B/2)/ \cos (C/2)\sin \angle XBC/\sin \angle XCB \cdot \cos \angle FCX/\cos \angle EBXcos(B/2)/cos(C/2)sin∠XBC/sin∠XCB⋅cos∠FCX/cos∠EBX设BXCBXCBXC的角平分线交(ABC)(ABC)(ABC)于NNN, 设∠BAC\angle BAC∠BAC内的旁切圆心为点JaJ_aJa.由内心旁心的一则常用性质,NNN,XXX,JaJ_aJa三线共点.III,BBB,JaJ_aJa,CCC共圆,IB⊥JaBIB \bot J_aBIB⊥JaB,IC⊥JaCIC \bot J_aCIC⊥JaC.cos∠EBXsin∠XBJa\cos \angle EBX\sin \angle XBJ_acos∠EBXsin∠XBJacos∠FCXsin∠XCJa\cos \angle FCX \sin \angle XCJ_acos∠FCXsin∠XCJa由角元形式的塞瓦定理可得:sin∠XBC/sin∠XCB⋅cos∠FCX/cos∠EBXsin∠XJaC/sin∠XJaB\sin \angle XBC/\sin \angle XCB \cdot \cos \angle FCX/\cos \angle EBX\sin \angle XJ_aC/\sin \angle XJ_aBsin∠XBC/sin∠XCB⋅cos∠FCX/cos∠EBXsin∠XJaC/sin∠XJaB由面积法,sin∠XJaC/sin∠XJaBNB/NC⋅CJa/BJasin∠CBJa/sin∠BCJacos(B/2)/cos(C/2)\sin \angle XJ_aC/\sin \angle XJ_aBNB/NC \cdot CJ_a/BJ_a\sin \angle CBJ_a/\sin \angle BCJ_a\cos (B/2)/ \cos (C/2)sin∠XJaC/sin∠XJaBNB/NC⋅CJa/BJasin∠CBJa/sin∠BCJacos(B/2)/cos(C/2).证毕. 2014年伊朗国家队选拔赛第18题
中心为III的非等腰三角形△ABC\triangle ABC△ABC的内切圆在DDD处与边BCBCBC相切. 设XXX是从三角形ABCABCABC的外接圆开始的弧BCBCBC上的一个点, 这样, 如果EEE,FFF与BIBIBI,CICICI上的XXX垂直, 并且MMM是EFEFEF的中点, 则MBMCMBMCMBMC. 证明∠BAD∠CAX\angle{BAD}\angle{CAX}∠BAD∠CAX. (2014年伊朗国家队选拔赛第18题)证明:只需证明d(E′,B)d(F′d(E, B)d(Fd(E′,B)d(F′,C)C)C),E′EE′,F′FF′分别为EEE,FFF在BCBCBC边上的投影.即BXcos∠EBXcos∠IBCCXcos∠FCXcos∠ICBBX \cos \angle EBX \cos\angle IBCCX \cos \angle FCX \cos \angle ICBBXcos∠EBXcos∠IBCCXcos∠FCXcos∠ICB.即sin∠XCBcos∠EBXcos∠IBCsin∠XBCcos∠FCXcos∠ICB\sin \angle XCB \cos \angle EBX \cos\angle IBC\sin \angle XBC \cos \angle FCX \cos \angle ICBsin∠XCBcos∠EBXcos∠IBCsin∠XBCcos∠FCXcos∠ICB.即cos(B/2)/cos(C/2)sin∠XBC/sin∠XCB⋅cos∠FCX/cos∠EBX\cos (B/2)/ \cos (C/2)\sin \angle XBC/\sin \angle XCB \cdot \cos \angle FCX/\cos \angle EBXcos(B/2)/cos(C/2)sin∠XBC/sin∠XCB⋅cos∠FCX/cos∠EBX设BXCBXCBXC的角平分线交(ABC)(ABC)(ABC)于NNN, 设∠BAC\angle BAC∠BAC内的旁切圆心为点JaJ_aJa.由内心旁心的一则常用性质,NNN,XXX,JaJ_aJa三线共点.III,BBB,JaJ_aJa,CCC共圆,IB⊥JaBIB \bot J_aBIB⊥JaB,IC⊥JaCIC \bot J_aCIC⊥JaC.cos∠EBXsin∠XBJa\cos \angle EBX\sin \angle XBJ_acos∠EBXsin∠XBJacos∠FCXsin∠XCJa\cos \angle FCX \sin \angle XCJ_acos∠FCXsin∠XCJa由角元形式的塞瓦定理可得:sin∠XBC/sin∠XCB⋅cos∠FCX/cos∠EBXsin∠XJaC/sin∠XJaB\sin \angle XBC/\sin \angle XCB \cdot \cos \angle FCX/\cos \angle EBX\sin \angle XJ_aC/\sin \angle XJ_aBsin∠XBC/sin∠XCB⋅cos∠FCX/cos∠EBXsin∠XJaC/sin∠XJaB由面积法,sin∠XJaC/sin∠XJaBNB/NC⋅CJa/BJasin∠CBJa/sin∠BCJacos(B/2)/cos(C/2)\sin \angle XJ_aC/\sin \angle XJ_aBNB/NC \cdot CJ_a/BJ_a\sin \angle CBJ_a/\sin \angle BCJ_a\cos (B/2)/ \cos (C/2)sin∠XJaC/sin∠XJaBNB/NC⋅CJa/BJasin∠CBJa/sin∠BCJacos(B/2)/cos(C/2).证毕. RELATED READING
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